启发式合并&线段树合并/分裂&treap合并&splay合并
启发式合并
有\(n\)个集合,每次让你合并两个集合,或询问一个集合中是否存在某个元素。
我们可以用平衡树/set维护集合。
对于合并两个\(A,B\),如果\(|A|<|B|\),那么我们就把\(A\)中的每个元素暴力加到\(B\)中,否则就把\(B\)中的元素暴力加到\(A\)中。
对于一次把\(A\)中的每个元素暴力加到\(B\)中的操作,\(|A|\)会变成\(|A|+|B|\),也就是说大小至少会翻倍,所以一个元素最多被暴力插入\(\log n\)次。每次插入的时间复杂度是\(O(\log n)\),所以总的时间复杂度是\(O(n\log^2n)\)。
线段树合并
如果两棵线段树有一颗为空,就直接返回另一棵。
否则把\(x\)的左儿子和\(y\)的左儿子合并在一起,作为\(x\)的左儿子,然后把\(x\)的右儿子和\(y\)的右儿子合并在一起,作为\(x\)的右儿子。
设值域为\([1,m]\),总的点数为\(n\)。
可以发现线段树合并的过程中每递归一次就要删掉一个节点。
所以总复杂度就是\(O(\)删掉的节点数\()\)。
分裂一次会增加\(O(\log m)\)个节点。
treap合并&splay合并
可以去看dwj2018集训队论文。
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