MT【217】韦达定理应用

若2018次方程$x^{2018}-4036x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 有2018个正实数,

则对于所有可能的方程$\sum\limits_{i=0}^{2016}|a_i|$的最大值为_____

解答:由韦达定理得:\begin{align*}
1+|a_0|+|a_1|+\cdots+| a_{2016}|+4036 &=(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_{2018}) \\
&\le \left(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{2018}(1+x_i)}{2018}\right)^{2018}\\
&=\left(\dfrac{4036+2018}{2018}\right)^{2018}\\
&=3^{2018}\\
\end{align*}
故$\sum\limits_{i=0}^{2016}|a_i|\le3^{2018}-4036-1=3^{2018}-4037$