牛客多校第三场-A-PACM Team-多维背包的01变种

题目我就不贴了。。。说不定被查到要GG。。。

题意就是我们需要在P,A,C,M四个属性的限制下，找到符合条件的最优解。。。

这样我们就需要按照0/1背包的思路，建立一个五维度数组dp[i][j][k][l][o]但是很明显36^5可能不怎么够用，一般来说就两种思路，吧这种多维数组由int 开成 short，这样岂不是爽歪歪？或者降维嘛。。。这里滚动会降一维，可是不会滚动啊！！！-_-    

滚动数组优化！！！我们在正向退DP时，子状态只会用很少的种类，这样前面好多都是没用的，我们来看看简单的01背包如何滚动：

1）前i - 1个物品放到容量v的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v] ：

由于，在执行在i次循环时，f[v]存储的是前i个物体放到容量v时的最大价值，在求前i个物体放到容量v时的最大价值(即之前的f[i][v])时，我们是正在执行第 i 次循环，f[ v ]的值还是在第 i - 1  次循环时存下的值，在此时取出的 f[ v ]就是前i - 1个物体放到容量v时的最大价值，即f[i - 1][v]。

2）前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v - weight[i]] + cost[i]

由于，在执行第i次循环前，f[0 ~ V]中保存的是第i - 1次循环的结果，即是前i - 1个物体分别放到容量0 ~ V时的最大价值，即f[i - 1][0 ~ V]。

则，在执行第i次循环前，f 数组中v - weight[i]的位置存储就是我们要找的前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益 (即之前的f[i - 1][v - weight[i]])，这里假设物品是从数组下标1开始存储的

逆序枚举容量的原因：

注意一点，我们是由第 i - 1 次循环的两个状态推出 第 i 个状态的，而且 v  > v - weight[i]，则对于第i次循环，背包容量只有当V..0循环时，才会先处理背包容量为v的状况，后处理背包容量为 v-weight[i] 的情况。

具体来说，由于，在执行v时，还没执行到v - weight[i]的，因此，f[v - weight[i]]保存的还是第i - 1次循环的结果。即在执行第i次循环 且 背包容量为v时，此时的f[v]存储的是 f[i - 1][v] ，此时f[v-weight[i]]存储的是f[i - 1][v-weight[i]]。

相反，如果在执行第 i 次循环时，背包容量按照0..V的顺序遍历一遍，来检测第 i 件物品是否能放。此时在执行第i次循环 且 背包容量为v时，此时的f[v]存储的是 f[i - 1][v] ，但是，此时f[v-weight[i]]存储的是f[i][v-weight[i]]。

因为，v  > v - weight[i]，第i次循环中，执行背包容量为v时，容量为v - weight[i]的背包已经计算过，即f[v - weight[i]]中存储的是f[i][v - weight[i]]。即，对于01背包，按照增序枚举背包容量是不对的。

）前i - 1个物品放到容量v的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v] ：

由于，在执行在i次循环时，f[v]存储的是前i个物体放到容量v时的最大价值，在求前i个物体放到容量v时的最大价值(即之前的f[i][v])时，我们是正在执行第 i 次循环，f[ v ]的值还是在第 i - 1  次循环时存下的值，在此时取出的 f[ v ]就是前i - 1个物体放到容量v时的最大价值，即f[i - 1][v]。

2）前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v - weight[i]] + cost[i]

由于，在执行第i次循环前，f[0 ~ V]中保存的是第i - 1次循环的结果，即是前i - 1个物体分别放到容量0 ~ V时的最大价值，即f[i - 1][0 ~ V]。

则，在执行第i次循环前，f 数组中v - weight[i]的位置存储就是我们要找的 前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益 (即之前的f[i - 1][v - weight[i]])，这里假设物品是从数组下标1开始存储的。

这样我们就能缩成四维的dp，还有一个问题就是背包路径打印问题。。。

我们可以这样打印每次dp转移,我们就在转移位置进行标记，然后从后往前推，由于我的状态都是由其他状态转移过来的，那么我们就必须反推回去，最后打印就行。