DFS 算法总结

DFS 算法总结

这篇文章会对DFS进行一个总结，列举的题目则是从LeetCode上面选的；

适用场景：

有三个方面，分别是输入数据、状态转换图、求解目标；

输入数据：如果是递归数据结构，如单链表，二叉树，集合，则百分之百可以使用深搜；如果是非递归数据结构，比如一维数组、二维数组、字符串、图，则概率要小一些；

状态转换图：树或者图；

输入数据：必须要走到最深（比如对于树，必须要走到叶子结点）才能得到一个解，这种情况比较适合用深搜；

代码模版

/**
     *  DFS模版
     *  @param input  输入数据指针
     *  @param path   当前路径，也是中间结果
     *  @param result 存放最终结果
     *  @param gap    标记当前位置或距离目标的距离
     *
     *  @return 路径长度，如果是路径本身，则不需要返回长度
     */
    template <typename type>
    void dfs(type & input, type & path, type & result, int cur or gap) {
        if (数据非法) return 0;  // 终止条件
        if (cur == input.size()) { // 收敛条件 (or gap == 0)
            将path放入到result中；
        }

        if (可以剪枝) return ;

        for (...) {  //执行所有可能的扩展动作
            1.执行动作，修改path
            2.dfs(input, path, result, cur + 1 or gap - 1);
            3.恢复path
        }
    }

典型例题

大概遇见这几种题型：

• 二叉树路径
• 图（有向图遍历，无向图遍历，拓扑排序，最短路径问题，最小生成树问题等等）
• 构造二叉树
• 矩阵路径
• 构造链表
• 删除无效括号

二叉树路径

例题为求二叉树路径

贴上代码：

/**
     *  递归将更新字符串，到达叶结点时加入到数组中
     *
     *  @param result <#result description#>
     *  @param root   <#root description#>
     *  @param t      <#t description#>
     */
    void binaryTreePaths(vector<string>& result, TreeNode* root, string t) {
        if (!root->left && !root->right) {
            result.push_back(t);
            return ;
        }

        if (root->left) binaryTreePaths(result, root->left, t + "->" + to_string(root->left->val));
        if (root->right) binaryTreePaths(result, root->right, t + "->" + to_string(root->right->val));

    }
    vector<string> binaryTreePaths(TreeNode* root) {
        vector<string> result;
        if (!root) return result;

        binaryTreePaths(result, root, to_string(root->val));
        return result;
    }

图

因为这里面涉及的内容很多，所以就以拓扑排序为例，例题为选课顺序；

贴上代码：

/**
     *  判断有向图是否有环
     *  通过DFS找环
     *
     *  @param matrix  <#matrix description#>
     *  @param visited <#visited description#>
     *  @param idx     <#idx description#>
     *  @param flag    <#flag description#>
     *
     *  @return <#return value description#>
     */
    bool DFS(vector<unordered_set<int>> &matrix, unordered_set<int> &visited, int idx, vector<bool> &flag) {
        flag[idx] = true; // 标记该结点访问过
        visited.insert(idx);

        // 找出该结点的所有邻居结点，如果存在访问过的结点或者递归，则返回true
        for (auto it = matrix[idx].begin(); it != matrix[idx].end(); ++it) {
            if (visited.find(*it) != visited.end() || DFS(matrix, visited, *it, flag)) {
                return true;
            }
        }

        visited.erase(idx);
        return false;
    }
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        vector<unordered_set<int>> matrix(numCourses);
        // 要想完成第一门课程，则先完成第二门课程(后面的是先要完成的课程)
        // 构建图
        for (int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
            matrix[prerequisites[i].second].insert(prerequisites[i].first);
        }

        unordered_set<int> visited; // 记录一个递归访问过的结点
        vector<bool> flag(numCourses, false); // 记录是否访问过结点

        /**
         *  遍历所有课程，也就是结点
         *  判断是否标记过结点，如果没有则进行DFS判断是否存在回路，存在回路则返回false
         */
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (!flag[i])
                // 如果递归中存在访问过的结点，则该拓扑排序是不存在的，也就无法完成课程
                if (DFS(matrix, visited, i, flag))
                    return false;
        }
        return true;
    }

构造二叉树

这里分为链表构造和数组构造，或是已知前中后序列，构造二叉树

这里以前序和后序构造二叉树为例，贴上代码：

/**
     *   利用递归进行计算左子树和右子树
     *
     *  @param inorder   <#inorder description#>
     *  @param postorder <#postorder description#>
     *  @param inStart   <#inStart description#>
     *  @param inEnd     <#inEnd description#>
     *  @param postStart <#postStart description#>
     *  @param postEnd   <#postEnd description#>
     *
     *  @return <#return value description#>
     */
    TreeNode* createTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder, int inStart, int inEnd, int postStart, int postEnd) {
        if (postorder.empty() || inStart > inEnd || postStart > postEnd)
            return NULL;
        // 后序的最后一个结点是跟结点
        TreeNode * root = new TreeNode(postorder.at(postEnd));
        int index;
        for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
            if (inorder.at(i) == postorder.at(postEnd)) {
                index = i;
                break;
            }
        }

        // 分别定为左子树和右子树 （需要注意子树的边界问题!!!!!）
        root->left = createTree(inorder, postorder, inStart, index - 1, postStart, postStart - inStart + index - 1);
        root->right = createTree(inorder, postorder, index + 1, inEnd, postEnd - inEnd + index, postEnd - 1);
        return root;
    }

    TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
        if (postorder.empty())
            return NULL;
        return createTree(inorder, postorder, 0, (int)inorder.size() - 1, 0, (int)postorder.size() - 1);
    }

矩阵路径

以Longest Increasing Path in a Matrix为例

贴上代码：

/**
     *  方法和上面类似，不过利用dirs+循环可以使函数简化
     */
    vector<vector<int>> dirs = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}};
    int helper(vector<vector<int>>& matrix, vector<vector<int>>& visit, int i, int j, int m, int n) {
        if (visit[i][j] > 1) return visit[i][j];
        int result = 1;
        for (auto dir : dirs) {
            int x = i + dir[0], y = j + dir[1];
            if (x < 0 || x >= m || y < 0 || y >= n || matrix[i][j] > matrix[x][y])
                continue;
            result = max(result, helper(matrix, visit, i, j, m, n));
        }
        visit[i][j] = result;
        return result;
    }
    int longestIncreasingPath2(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        if (m == 0) return 0;
        int n = matrix[0].size();

        int result = 0;
        vector<vector<int>> visit(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                result = max(result, helper(matrix, visit, i, j, m, n));
            }
        }

        return result;
    }

构造链表

以Populating Next Right Pointers in Each Node为例，贴上代码：

/**
     *  递归实现
     *
     *  @param root <#root description#>
     */
    void createTree(TreeLinkNode *root) {
        if (root->left == NULL || root->right == NULL)
            return ;

        TreeLinkNode * left = root->left;
        TreeLinkNode * right = root->right;

        left->next = right;
        right->next = root->next ? root->next->left : NULL;

        createTree(root->left);
        createTree(root->right);
    }

    void connect2(TreeLinkNode *root) {
        if (root == NULL)
            return ;
        root->next = NULL;
        createTree(root);
    }

删除无效括号

以Remove Invalid Parentheses为例，贴上代码：

/**
     *  DFS＋剪枝
     *
     *  @param pair         遇见括号的个数
     *  @param index        记录字符串s的当前位置
     *  @param remove_left  左括号需要删除的个数
     *  @param remove_right 右括号需要删除的个数
     *  @param s            原始字符串
     *  @param solution     生成字符串
     *  @param result       存储所有的字符串结果
     */
    void helper(int pair, int index, int remove_left, int remove_right, const string& s, string solution, unordered_set<string> &result) {
        if (index == s.size()) {
            if (pair == 0 && remove_left == 0 && remove_right == 0)
                result.insert(solution);
            return;
        }

        if (s[index] == '(') {
            // 删除左边括号
            if (remove_left > 0) helper(pair, index, remove_left - 1, remove_right, s, solution, result);
            // 回溯
            helper(pair + 1, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
        }
        else if (s[index] == ')') {
            // 删除右边括号
            if (remove_right > 0) helper(pair, index, remove_left, remove_right - 1, s, solution, result);
            // 回溯
            if (pair > 0) helper(pair - 1, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
        }
        else {
            helper(pair, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
        }

    }
    vector<string> removeInvalidParentheses(string s) {
        int remove_left = 0, remove_right = 0, pair = 0;
        unordered_set<string> result; // 处理重复

        // 计算左右两边需要删除括号的个数
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            if (s[i] == '(')
                remove_left++;
            else if (s[i] == ')')
                if (remove_left > 0) remove_left--;
                else remove_right++;
        }

        helper(0, 0, remove_left, remove_right, s, "", result);

        return vector<string>(result.begin(), result.end());
    }

总结

回溯法 ＝ 深搜＋剪枝

递归一定是深搜，深搜不一定是递归，因为还可以迭代实现；

递归有两种加速策略，一种是剪枝，对中间结果进行判断，提前返回；一种是缓存，缓存中间结果，防止重复计算，用空间换时间；

递归加缓存，就是memorization，即自顶向下＋缓存，memorization不一定用递归，就像深搜不一定用递归，可以在迭代中使用memorization，递归也不一定memorization，可以用memorization加速，但不是必须的；