Javascript 随机数函数 学习之二：产生服从正态分布随机数

一、为什么需要服从正态分布的随机函数

一般我们经常使用的随机数函数 Math.random() 产生的是服从均匀分布的随机数，能够模拟等概率出现的情况，例如 扔一个骰子，1到6点的概率应该相等，但现实生活中更多的随机现象是符合正态分布的，例如20岁成年人的体重分布等。

假如我们在制作一个游戏，要随机设定许许多多 NPC 的身高，如果还用Math.random()，生成从140 到 220 之间的数字，就会发现每个身高段的人数是一样多的，这是比较无趣的，这样的世界也与我们习惯不同，现实应该是特别高和特别矮的都很少，处于中间的人数最多，这就要求随机函数符合正态分布。

二、正态分布复习

图片来自：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83

具体性质也请查阅上面链接，描述正态分布的主要特征是均值和方差，如上图，最左的倒钟形图的均值为-2, 其余为0 ;

方差越大，钟形越扁平，方差越小越陡;

• 密度函数图像关于均值对称。
• 在x=μ±σ处，曲线有拐点。
• 函数曲线下68.26%的面积在平均数左右的一个标准差σ的区间内。
• 95.44%的面积在平均数左右两个标准差2σ的区间内。
• 99.74%的面积在平均数左右三个标准差3σ的区间内。

当均值为0， 方差为 1 时称为标准正态分布;

三、由均匀分布经 “Box-Muller法” 转换为正态分布

通过查阅文献可知（请参见：http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform），有一个称为 Box-Muller (1958) 转换的算法能够将两个在区间（0,1] 的均匀分布转化为标准正态分布，其公式为：

y1 = sqrt( - 2 ln(u) ) cos( 2 pi v )

y2 = sqrt( - 2 ln(u) ) sin( 2 pi v )

因为三角函数计算较慢，我们可以通过上述公式的一个 polar form（极坐标形式）能够简化计算，

算法描述如下：

function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){
    return mean+(randomNormalDistribution()*std_dev);
}

function randomNormalDistribution(){
    var u=0.0, v=0.0, w=0.0, c=0.0;
    do{
        //获得两个（-1,1）的独立随机变量
        u=Math.random()*2-1.0;
        v=Math.random()*2-1.0;
        w=u*u+v*v;
    }while(w==0.0||w>=1.0)
    //这里就是 Box-Muller转换
    c=Math.sqrt((-2*Math.log(w))/w);
    //返回2个标准正态分布的随机数，封装进一个数组返回
    //当然，因为这个函数运行较快，也可以扔掉一个
    //return [u*c,v*c];
    return u*c;
}

因此，假如我们要获得均值为180，要68.26%左右的NPC身高都在[170,190]之内，即1个标准差范围内，因此标准差为10, 可以通过getNumberInNormalDistribution(180,10) 调用，我们实验1000000词，得到结果如下：

// 身高：频率
128:1
132:1
133:1
134:1
135:1
136:2
137:4
138:8
139:11
140:14
141:19
142:28
143:41
144:54
145:80
146:133
147:153
148:235
149:333
150:429
151:598
152:764
153:1059
154:1314
155:1776
156:2290
157:2835
158:3503
159:4373
160:5513
161:6475
162:7809
163:9437
164:11189
165:13282
166:15020
167:17239
168:19215
169:21597
170:24336
171:26684
172:29000
173:31413
174:33179
175:35027
176:37084
177:38047
178:38968
179:39635
180:39700
181:39548
182:38960
183:38674
184:36948
185:35220
186:33224
187:31038
188:29198
189:26668
190:23893
191:21662
192:19476
193:16898
194:15056
195:13046
196:10971
197:9456
198:7928
199:6697
200:5370
201:4334
202:3548
203:2810
204:2330
205:1765
206:1350
207:1093
208:797
209:595
210:371
211:328
212:255
213:165
214:121
215:91
216:71
217:29
218:32
219:28
220:20
221:6
222:7
223:7
224:3
225:2
228:1

绘制成柱状图如下：

可见，这是有着非常明显的正态分布图像特征。

四、由均匀分布叠加获得正态分布

我们需要祭出万能的中心极限定理。

根据独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，...Xn,...相互独立，服从同一分布，且数学期望为μ，标准差为σ (σ>0)，则随机变量之和的标准化变量:

Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 近似服从标准正态分布 N(0，1)

如果我们将足够多个均匀分布随机变量相加，相加之和将服从正态分布。但是，我们需要累加多少个均匀分布才能较好低近似正态分布呢？

由于 X~U(0, 1) , 可得 μ=1/2， σ=sqrt(1/12)，代入上面的式子即可近似模拟随机变量之和的概率密度函数(p.d.f).

下图是由2个服从 U(0，1) 分布的随机变量相加得到的 p.d.f 图像：

如果我们增加累加的均匀分布的数量会怎样呢？

上图是 n=3 时的图像，可以看到正态分布的形状出来了，但顶端还略为平缓。

特别低，当n=12时 (随机变量(X1+X2+...+Xn)的均值为6，方差为1)  这时有一个很好的特点，公式 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 的分母正好为1，因此简化成了 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)，非常便于编程计算，并且已经非常接近于标准正态分布，请见下图：

也就是说均值为μ，标准差为σ 的独立同分布变量 X1，X2, ..., Xn 的算数平均数  T=(X1+X2+ ...+ Xn)/n，当n充分大时，近似地服从均值为μ，方差为σ*σ/n 的正态分布。

最后，代码如下：

function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){
    return mean+(uniform2NormalDistribution()*std_dev);
}

function uniform2NormalDistribution(){
    var sum=0.0;
    for(var i=0; i<12; i++){
        sum=sum+Math.random();
    }
    return sum-6.0;
}

同样，将产生100万个随机数按频率画出直方图如下：

如何产生服从均匀分布的随机数呢？

请见上篇：

Javascript 随机数函数 学习之一：产生服从均匀分布随机数