MT【203】连续型的最值

(北大自招）已知$-6\le x_i\le 10 (i=1,2,\cdots,10),\sum\limits_{i=1}^{10}x_i=50,$当$\sum\limits_{i=1}^{10}x^2_i$取到最大值时,在$x_1,\cdots ,x_{10}$这十个数中等于$-6$的数共有______

提示:注意到:$a\le b\le c\le d$且$a+d=b+c$时,$a^2+d^2-(b^2+c^2)=(d-c)(d+c-a-b)\ge0$故$x_i$中最多一个属于$(-6,10)$,不妨该数记为a,设有$k$的-6,则$-6k+(9-k)10+a=50,$易得$k=3$

或者用反证法说明:

假设当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $取得最大值时，在$x_i$中存在两个数$x_i,x_j\in(-6,10),x_i\leqslant x_j$，则令$x=\min\{10-x_j,x_i+6\}$，则$x>0$，且$x_i-x\geqslant -6,x_j+x\leqslant 10$，且有$$(x_i-x)^2+(x_j+x)^2=x_i^2+x_j^2+2x^2+2x(x_j-x_i)>x_i^2+x_j^2,$$矛盾，所以$x_i,i=1,2,\cdots,10$中至多只有一个数不等于$-6$或$10$．
假设其中有$k$个$-6$，则有$9-k$个$10$，剩下的一个数为$$50-(-6)k-10(9-k)=16k-40\in(-6,10),$$解得$k=3$

注：这里其实有一个重要定理