Hihocoder1456 Rikka with Lattice

众所周知，萌萌哒六花不擅长数学，所以勇太给了她一些数学问题做练习，其中有一道是这样的：
勇太有一个$n times m$的点阵，他想要从这$n times m$个点中选出三个点 ${A,B,C}$，满足：

1. 三角形$ABC$面积不为$0$且其内部不存在整点。
2. 边$AB$,$BC$,$CA$上不存在除了端点以外的整点。

现在勇太想要知道有多少种不同的选取方案满足条件。
当然，这个问题对于萌萌哒六花来说实在是太难了，你可以帮帮她吗？
注意${A,B,C}$与${B,A,C}$视为同一种方案。
$n,m leqslant 5 times 10^9$。

题解

一道比较有趣的数论题。看范围应该能猜到是杜教筛一类的东西，但是推不出第一步的式子啊= =
首先考虑题目这个奇怪的条件，其实由皮克定理，我们可以得到，这个三角形的面积为$frac{1}{2}$，也就是说，题目要求的就是面积为$frac{1}{2}$的三角形的个数。
考虑这种三角形大概长什么样子，然后你会发现它只能长成这样：

考虑一个$a times b$的矩形，以这个矩形的两个相对的点为其中两个顶点的三角形的个数。设$vec{BE}$的坐标为$(x,y)$那么这个三角形的面积就可以表示为：
$$S=frac{1}{2}|vec{BE} times vec{BD}|=frac{1}{2}|ay-bx|$$
令$S=frac{1}{2}$，则有$ay-bx=pm 1$。
由裴蜀原理，这个方程仅在$gcd(a,b)=1$时有解，且每个方程恰好有一组解。再把对角线换一下，于是当$gcd(a,b)=1$时，会有$4$个这样的三角形。
然后这个奇怪的题，终于被我们化成了这样的式子：
$$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]4(n-i)(m-j)$$
莫比乌斯反演一下，就变成这样了：
$$4 sum_{x=1}^{min(n,m)} mu(x) sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{x} rfloor} sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{x} rfloor} nm - mix - njx + ijx^2$$
令$S(n)=sum_{i=1}^{n}i=frac{n(n+1)}{2}$把式子再化简一下，就变成：
$$4 sum_{x=1}^{min(n,m)} mu(x)(lfloor frac{n}{x} rfloor lfloor frac{m}{x} rfloor nm-x lfloor frac{m}{x} rfloor S(lfloor frac{n}{x} rfloor)-x lfloor frac{n}{x} rfloor S(lfloor frac{m}{x} rfloor)+x^2 S(lfloor frac{m}{x} rfloor) S(lfloor frac{n}{x} rfloor))$$
终于，这个式子的求法很显然了，可以直接枚举，$O(n)$计算。然而这还是过不了，得加上杜教筛。
这里杜教筛要筛的东西还挺多的，一个是$sum_{i=1}^{n}mu(i)$，一个是$sum_{i=1}^{n}mu(i)i$，还要筛出$sum_{i=1}^{n}mu(i)i^2$。
关于这三个函数的筛法，我都在这里讲一下：
关于杜教筛，我们知道有个这样的式子：
$$L(n)-g(1)F(n)=sum_{i=2}^n g(i) F(lfloorfrac{n}{i}rfloor)$$
其中$f*g=l$。
对于$sum_{i=1}^{n}mu(i)$，我们是令$g=1$，利用$sum_{d|n}mu(d)=[n=1]$，于是使得$L(n)=1$，从而完成计算；
对于$sum_{i=1}^{n}mu(i)i$，我们则令$g(i)=i$，那么$sum_{d|n}mu(d)d times frac{n}{d}=1$，从而$L(n)=1$，从而实现了杜教筛；
对于$sum_{i=1}^{n}mu(i)i^2$，类似地，我们令$g(i)=i^2$，那么$sum_{d|n}mu(d)d^2 times (frac{n}{d})^2=1$，从而$L(n)=1$，从而也实现了杜教筛；
由于$5 times 10^9 times 5 times 10^9=2.5 times 10^{19}$超过了long long的范围，因此取模变得很恶心，时常要记得取模。
偷懒用了std::map，所以时间复杂度$O(n^{frac{2}{3}}logn)$。

代码

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113

#include<cmath> #include<bitset> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int INF=1e9; const long double eps=1e-6; const int mod=998244353; const int maxn=4e6+10; 大专栏  Hihocoder1456 Rikka with Lattice class="line">const int Inv2=499122177; const int Inv6=166374059; int Lim=4e6; ll mu[maxn],mux[maxn],muxx[maxn]; int prime[maxn]; map <ll,ll> Mu,Mux,Muxx; bitset <maxn> vis; inline ll (){ ll x=0,flag=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch) && ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')flag=-1,ch=getchar(); while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*flag; } inline void initialize(int n){ int i,j,cnt=0; vis[1]=1;mu[1]=1; for(i=2;i<=n;i++){ if(!vis[i]){ prime[++cnt]=i; mu[i]=-1; } for(j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++){ vis[i*prime[j]]=1; mu[i*prime[j]]=-mu[i]; if(i%prime[j]==0){ mu[i*prime[j]]=0; break; } } } for(i=1;i<=n;i++){ mux[i]=(mux[i-1]+mu[i]*i)%mod; muxx[i]=(muxx[i-1]+mu[i]*i%mod*i)%mod; mu[i]=mu[i-1]+mu[i]; } } ll Get_Mu(ll x){ if(x<=Lim)return mu[x]; if(Mu[x])return Mu[x]; ll res=1,i; for(i=2;i<=x;i++){ ll j=x/(x/i); (res-=Get_Mu(x/i)*((j-i+1)%mod))%=mod;i=j; } return Mu[x]=res; } inline ll Sum1(ll x){ x%=mod; return x*(x+1)%mod*Inv2%mod; } ll Get_Mux(ll x){ if(x<=Lim)return mux[x]; if(Mux[x])return Mux[x]; ll res=1,i; for(i=2;i<=x;i++){ ll j=x/(x/i); (res-=Get_Mux(x/i)*(Sum1(j)-Sum1(i-1)))%=mod;i=j; } return Mux[x]=res; } inline ll Sum2(ll x){ x%=mod; return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*Inv6%mod; } ll Get_Muxx(ll x){ if(x<=Lim)return muxx[x]; if(Muxx[x])return Muxx[x]; ll res=1,i; for(i=2;i<=x;i++){ ll j=x/(x/i); (res-=Get_Muxx(x/i)*(Sum2(j)-Sum2(i-1)))%=mod;i=j; } return Muxx[x]=res; } int main(){ ll m,n,d; #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("hiho1456.in","r",stdin); freopen("hiho1456.out","w",stdout); #endif n=read();m=read(); if(n>m)swap(n,m); initialize(Lim); ll ans=0; for(d=1;d<=n;d++){ ll j=min(n/(n/d),m/(m/d)); ll v1=(n/d)%mod,v2=(m/d)%mod; ll Sum1=v1*(v1+1)%mod*Inv2%mod,Sum2=v2*(v2+1)%mod*Inv2%mod; (ans+=1ll*(Get_Mu(j)-Get_Mu(d-1))*v1%mod*v2%mod*n%mod*m%mod)%=mod; (ans+=1ll*(Get_Muxx(j)-Get_Muxx(d-1))*Sum1%mod*Sum2%mod)%=mod; (ans-=1ll*(Get_Mux(j)-Get_Mux(d-1))*Sum1%mod*m%mod*v2%mod)%=mod; (ans-=1ll*(Get_Mux(j)-Get_Mux(d-1))*Sum2%mod*n%mod*v1%mod)%=mod; d=j; } printf("%lldn",(ans+mod)%mod*4ll%mod); return 0; }