关于SG函数

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。

SG函数：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4-  f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推.....

x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。

代码实现：(相关例题HDU1536或者POJ2960两道例题一样)

int f[N + 1]; //游戏中石子的不同取法
int sg[1005];
bool mex[1005];//注意这里是bool类型 用int可能会超时
void get_sg(int n)
{
    memset(sg, 0, sizeof(sg));
    for(int i = 1; i <= 1000; i++) //代表不同情况下总石子的个数，即是sg[x]中的x
    {
        memset(mex, 0, sizeof(mex));//每次都要重置一下mex,booL型的数组占用字节少，所以Int型可能会超时
        for(int j = 1; f[j] <= i && j <= N; j++)
        {
            mex[i - f[j]] = 1;
        }
        for(int j = 1;; j++)
        {
            if(!mex[j])
            {
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
    return ;
}

二：拓扑图求解SG函数（DFS）（相关例题：HDU1524）

vector<int>edge[1005];
int sg[1005];
int dfs_sg(int x)
{
    if(sg[x] == -1)
        return sg[x];
    bool vis[1005];//bool型占用字节少
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 0; i < (int)edge[x].size(); i++)
    {
        vis[dfs_sg(edge[x][i])] = 1;
    }
    for(int i = 0;; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            sg[x] = i;
            break;
        }
    }
    return sg[x];
}