欧拉回路--P2731 骑马修栅栏 Riding the Fences

实在懒得复制题干了 *传送

1.定义

*如果图G（有向图或者无向图）中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。

*如果图G中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。

*具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

2. 定理及推论

无向图G存在欧拉通路的充要条件是：

1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：

推论2：
1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路

求解：

A.  DFS搜索求解欧拉回路

基本思路：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每一条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

 #include<cstdio>
 #include<stdio.h>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define MAX 2010
 using namespace std;
 int maps[MAX][MAX];
 int in[MAX];
 int t[MAX];
 int flag;
 int k;
 int Max,Min;
 int DFS(int x)
 {
     int i;
     for(i=Min;i<=Max;i++)
     {
         if(maps[x][i])///从任意一个与它相连的点出发
         {
             maps[x][i]--;///删去遍历完的边
             maps[i][x]--;
             DFS(i);
         }
     }
     t[++k]=x;///记录路径，因为是递归所有倒着记
 }
 int main()
 {
     int n,i,x,y;
     Max=-;
     Min=;
     flag=;
     scanf("%d",&n);
     ;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);
         maps[x][y]++;
         maps[y][x]++;
         Max=max(x,max(y,Max));
         Min=min(x,min(y,Min));
         in[x]++;
         in[y]++;
     }
     for(i=Min;i<=Max;i++)
     {
         )///存在奇度点，说明是欧拉通路
         {
             flag=;
             DFS(i);
             break;
         }
     }
     if(!flag)///全为偶度点，从标号最小的开始找
     {
         DFS(Min);
     }
     ;i--)
     {
         printf("%d\n",t[i]);
     }
     ;
 }

B.  Fleury(佛罗莱)算法

 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 ];
 int top;
 int N,M;
 ][];
 void dfs(int x)
 {
     int i;
     top++;
     ans[top]=x;
     ; i<=N; i++)
     {
         )
         {
             mp[x][i]=mp[i][x]=;///删除此边
             dfs(i);
             break;
         }
     }
 }

 void fleury(int x)
 {
     int brige,i;
     top=;
     ans[top]=x;///将起点放入Euler路径中
     )
     {
         brige=;
         ; i<=N; i++) /// 试图搜索一条边不是割边（桥）
         {
             )///存在一条可以扩展的边
             {
                 brige=;
                 break;
             }
         }
         if (!brige)/// 如果没有点可以扩展，输出并出栈
         {
             printf("%d ", ans[top]);
             top--;
         }
         else     /// 否则继续搜索欧拉路径
         {
             top--;///为了回溯
             dfs(ans[top+]);
         }
     }
 }

 int main()
 {
     int x,y,deg,num,start,i,j;
     scanf("%d%d",&N,&M);
     memset(mp,,sizeof (mp));
     ;i<=M; i++)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);
         mp[x][y]=;
         mp[y][x]=;
     }
     num=;
     start=;///这里初始化为1
     ; i<=N; i++)
     {
         deg=;
         ; j<=N; j++)
         {
             deg+=mp[i][j];
         }
         ==)///奇度顶点
         {
             start=i;
             num++;
         }
     }
     ||num==)
     {
         fleury(start);
     }
     else
     {
         puts("No Euler path");
     }
     ;
 }

那这道题就是一个欧拉回路的板子

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 ][];//记录两个点之间的路径个数
 ];//辅助记录奇点
 ];//记录路径
 ;
 ,Min=1e9;
 int DFS(int x)
 {
     int i;
     for(i=Min;i<=Max;i++)
     {
         if(map[x][i])
         {
             map[x][i]--;
             map[i][x]--;
             DFS(i);
         }
     }
     t[++k]=x;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     ;i<=n;++i)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);
         map[x][y]++;
         map[y][x]++;
         du[x]++;
         du[y]++;
         Max=max(Max,max(x,y));
         Min=min(Min,min(x,y));
     }
     ;
     ;i<=Max;++i)
     {
         )
         {
             start=i;
             break;
         }
     }
     DFS(start);
     ;i--)
     {
         printf("%d\n",t[i]);
     }
     ;
 }