概率/期望DP初步——BZOJ1415 聪聪和可可

期望相关：

　　数学期望，可以简单理解的加权平均数。设有一系列的值$x_i$，每个值被取到的概率为$p_i$，则期望$E=\sum\limits_{i=1}^n p_i x_i$。

　　期望具有线性性：$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ $$E(XY)=E(X)E(Y)$$ 大概就是说求期望的时候正着反着乱序着乱搞求出来的都是对的。。。

基于期望的线性性，我们可以在概率和期望之间建立一定的递推关系，这样就可以通过动态规划来解决一些概率问题。

比如NOI2005的聪聪和可可。

题目大意：给定一个无向图，聪聪在起点，可可在终点，每个时刻聪聪会沿最短路走向可可两步(如果有多条最短路走编号最小的点)，然后可可会等概率向周围走或不动，求平均多少个时刻后聪聪和可可相遇。

设聪聪在节点$x$,可可在节点$y$

设$f[u][v]$为聪聪在$u$可可在$v$时聪聪抓住可可的期望时间,$p[u][v]$为为聪聪在$u$可可在$v$时聪聪下一步会到达的节点,$degree[v]$为节点$v$的度；

显然，当$x=y$时$f[x][y]=0$；当$0<dis[x][y] \leqslant 2$时$f[x][y]=1$。

当$dis[x][y]>2$时，$$f[x][y]=\frac{f[p[x][y]][y]+\sum\limits_{e(y,k)} f[p[x][y]][k]}{degree[x]+1}$$

对每个节点进行一次SPFA求出p[][]

然后根据上述状态转移方程记忆化搜索就好。

 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #define foru(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
 using namespace std;
 const int N=1e4+;
 struct edge{int to,nxt;}e[N*];
 queue<int> q;
 int head[N],vis[N],d[N],ne,n,m,s,t,p[][];
 double f[][];
 void add(int a,int b){e[++ne]=(edge){b,head[a]};head[a]=ne;}
 void spfa(int x){
     memset(d,,sizeof(d));
     memset(vis,,sizeof(vis));
     q.push(x);d[x]=;vis[x]=;
     while(!q.empty()){
         int k=q.front();q.pop();
         vis[k]=;
         for(int i=head[k];i;i=e[i].nxt){
             int v=e[i].to;
             if(d[v]>d[k]+||(d[v]==d[k]+&&k<p[v][x])){
                 d[v]=d[k]+;
                 p[v][x]=k;
                 if(!vis[v]){
                     q.push(v);
                     vis[v]=;
                 }
             }
         }
     }
 }

 double dfs(int x,int y){
     if(f[x][y]!=-)return f[x][y];
     if(x==y){f[x][y]=;return ;}
     if(p[x][y]==y||p[p[x][y]][y]==y){f[x][y]=;return ;};
     f[x][y]=dfs(p[p[x][y]][y],y);int d=;
     for(int i=head[y];i;i=e[i].nxt){
         d++;
         int v=e[i].to;
         f[x][y]+=dfs(p[p[x][y]][y],v);
     }
     (f[x][y]/=d+);
     f[x][y]+=;
     return f[x][y];
 }

 int main(){
     int u,v;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     scanf("%d%d",&s,&t);
     foru(i,,m){
         scanf("%d%d",&u,&v);
         add(u,v);add(v,u);
     }
     foru(i,,n)foru(j,,n)f[i][j]=-;
     foru(i,,n)spfa(i);
     double ans=dfs(s,t);
     printf("%.3lf\n",ans);
     return ;
 }

DP一直是弱项，总是找不到套路，还是多做点题吧。