浅谈字符串Hash

本篇随笔讲解Hash（散列表）的一个重要应用：字符串Hash。

关于Hash

Hash是一种数据结构，叫做Hash表（哈希表），也叫散列表。关于Hash的实现，其实与离散化颇为类似。就是把若干的复杂的信息映射到一个比较容易维护的值域去。具体的实现方式是散列函数，即Hash函数，其原理是对于一个数据，选取一个关键键值$k$，那么这个数据在Hash表中的位置就是$f(k)$。那么这个对应关系（$f()$）就是哈希函数。

哈希冲突

因为我们只是定义了一个$f()$作为哈希函数，并没有定义这个$f()$到底是什么样的函数。所以显然地，可能会出现一个函数$f(k)$，使得两个不同的$k(k_1\not=k_2)$而出现函数值相等的情况$f(k_1)=f(k_2)$（比如二次函数）。这种情况被称作哈希冲突。导致答案错误。

关于字符串Hash

字符串哈希就是在字符串上进行哈希。字符串哈希的用处是快速判断两个字符串是否相等。

一个简单的思想：将一个字符串转化为一个整数，这样，只需要比较整数相不相等就可以判断这个串是否重复出现过（不考虑哈希冲突）。

但是这个思想不考虑哈希冲突，不代表我们实现的时候也肯定不会出现哈希冲突。那么，我们当然希望我们哈希的东西（哈希映射，散列函数）是一个单射。

那么，我们用什么方法来避免哈希冲突呢？

自然溢出

给定一个字符串$S=s_1s_2s_3\cdots s_n$，我们规定：$f(x)=x-'a'+1$.

那么，自然溢出的哈希公式可以如此这么表示：
\[
hash[i]=hash[i-1]*p+f(i)
\]
注意，这里的哈希数组是$unsigned\, long\, long$范围的，所以可以通过自然溢出而自动取模$2^{64}-1$。

单Hash法

单Hash法的哈希公式可以这么表示：
\[
hash[i]=(hash[i]*p)+f(i)\%mod\quad (p<mod)
\]
显然，$mod$越小越容易冲突，所以我们把$p,mod$都尽量取大即可。

这种方法仍然存在哈希冲突的概率，只不过特别低。实际运用的时候可以使用这种方法。~~除非你RP低到一定境界~~，否则不会被卡掉。

例如：

$p=13,mod=101$，对$abc$进行如上所示的$hash$。

$hash[0]=1$（从0开始计算）

$hash[1]=15$

$hash[2]=97$

那么97就是$abc$的hash值。

双hash法

hash一遍可能还会出现冲突，那我hash两遍。这就是双Hash法。

开一个二元组，用两个不同的$mod$来分别$Hash$，得到的两个结果存进二元组，作为哈希的结果。

同理，你还可以开一个结构体，多哈希几遍（强迫症患者）（滑稽.jpg）

子串Hash

字符串子串是个常见的问题，变式很多。

但是，显然的是，如果我们求出了一个大串的hash,就能以$O(1)$的时间求解其子串的哈希值。

来让我们解释一下这个“显然”的含义：

$hash[1]=s1$
$hash[2]=s1∗p+s2$
$hash[3]=s1∗p2+s2∗p+s3$
$hash[4]=s1∗p3+s2∗p2+s3∗p+s4$
$hash[5]=s1∗p4+s2∗p3+s3∗p2+s4∗p+s5$
现在展示的是1-5的哈希。

如果我们要求s3s4的哈希，容易得出（根据哈希公式）：$s_3\times p+s_4$。我们把$hash[4],hash[2]$进行消元处理的话，就能将结果中带有$s_1,s_2$的系数消掉，而这个操作只需要乘上$p^2$即可。

那么：
\[
hash[4]-hash[2]\times p^{4-3+1=2}
\]
那么我们处理出通项公式：
\[
hash[i]-hash[j-1]\times p^{i-j+1}
\]
取模的时候为了防止减法运算出现负数，还要做如下处理：
\[
hash=((hash[i]-hash[j-1]\times p^{j-i+1})\%mod+mod)\%mod
\]
这就完事了。