【学习笔记】字符串—马拉车（Manacher）

一：【前言】

马拉车用于求解连续回文子串问题，效率极高。

其核心思想与 $kmp$ 类似：继承。 ——引自 $yyx$ 学姐

二：【算法原理】

对于任意一个回文串 $a$，设其中点为 $mid$（为方便描述，偶数串则在正中央加一个位置），那么根据定义，有：

$a[mid-1]==a[mid+1]$

$a[mid-2]==a[mid+2]$

$...$

可知：

如果 $a[mid-x]$ 可以形成半径为 $r$ 的回文串，且不越过以 $mid$ 为中心的回文串，那么 $a[mid+x]$ 也可以形成半径为 $r$ 的回文串。

以奇回文串为例，用 $r[i]$ 表示以 $i$ 为中点的最大回文串长度。

如果我们已知 $r[mid],r[j](j \in [mid-r[mid]+1,mid-1])$，那么可以分两种情况推出其关于 $mid$ 的对称点 $i$ $(\frac {i+j}{2}=mid)$ 的半径：

设 $R=mid+r[mid]-1$ 。

$(1).$ $i+r[j]-1<=R,$ $r[i]=r[j]$ 。

$(2).$ $i+r[j]-1>R,$ $r[i]=R-i+1$ 。

即 $r[i]=min(r[j],R-i+1)$ 。

如上所述，实现了从前面信息到后面信息的继承。

继承之后还需要判断以 $i$ 为中心能否继续扩张，这时候可以直接暴力枚举扩大半径。

三：【算法实现】

实时维护一个已知覆盖范围最靠右的回文串信息，记录其中点 $mid$ 和右端点 $R$。

从 $1,n$ 枚举 $i$：

若 $i<=R$ 则可以用 $i$ 的对称点 $mid*2-i$ 得到 $r[i]$，

若 $i>R$（即 $R=i-1$ 的情况，因为 $R$ 永远大于等于 $i-1$），初始化 $r[i]=1$，然后暴力扩大求出最大 $r[i]$。

如果以 $i$ 为中点可以得到更靠右的回文串，更新 $mid$ 和 $R$。

但偶数串不太好处理，所以在原字符串中的所有空隙中插入一个不可能出现的字符，例如 $'*',$ $'|'$ 等等，最前面和最后面也要插。

此时，奇数串还是奇数串，偶数串则变成了奇数串，可以统一按照奇数串处理啦。

注意：统计答案时应取真实的回文串长度。

（具体可以自己画个图分类讨论一下，会发现无论奇偶，无论是否为原字符串中的字符，$r[i]-1$ 始终等于以 $i$ 为中点的实际最大回文串长度。）

【Code】

题目：$Palindrome$ $[Poj3974]$

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<string>

#define Re register int

using namespace std;

const int N=1e6+5;

int n,R,mid,ans,OOO,r[N<<1];char op[N],a[N<<1];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

int main(){

    while(cin>>op){

        if(op[0]=='E'&&op[1]=='N'&&op[2]=='D')break;//没用string就只能这样一位一位地判断了

        a[0]='$',a[n=1]='*',R=0,mid=0,ans=0;

        for(Re i=0;op[i];++i)a[++n]=op[i],r[n]=0,a[++n]='*',r[n]=0;//玄学填空法

        for(Re i=1;i<=n;++i){

            r[i]=i<=R?min(R-i+1,r[(mid<<1)-i]):1;//继承前辈的信息

            while(a[i-r[i]]==a[i+r[i]])++r[i];//暴力扩张领域

            if(i+r[i]-1>R)R=i+r[mid=i]-1;

            ans=max(ans,r[i]-1);//取实际回文长度

        }

        printf("Case %d: %d\n",++OOO,ans);

    }

}

四：【时间复杂度】

似乎看起来效率并不高，近似 $O(n^2)$，但实际上它的理论复杂度是 $O(n)$。

为何？

对于每个 $i$：

如果 $i<=R$，那么直接 $O(1)$ 计算 $r[i]$。

如果 $i>R$，那么会用 $O(len)$ 向右扫描 $len$个单位，所以此时 $R$ 会向右移动 $len+1$ 的单位。

而 $R$ 最多只会移动 $n$ 个单位，因此 $Manacher$ 算法时间复杂度是线性的：$O(n)$。

五：【例题】

【模板】$manacher$ 算法 $[P3805]$

【标签】字符串/回文串/$Manacher$ 模板
$Palindrome$ $[Poj3974]$

【标签】字符串/回文串/$Manacher$ 模板/$Hash$/二分
$Palindrome$ $pairs$ $[CF159D]$

【标签】字符串/回文串/$Manacher$/差分

【题解】$Xing$_$Ling$
$Sonya$ $and$ $Matrix$ $Beauty$ $[CF1080E]$

【标签】字符串/回文串/$Manacher$/暴力枚举/整体思想

【题解】$Xing$_$Ling$