cyyz: Day 2 线段树知识整理
Day 2
上午的听课，哎~昏昏欲睡好吧。。
一、扫描线
知识点：
由于多边形千变万化，要想填充多边形内部的所有像素，需要找到一种合适的规则，能够沿着一个方向，一个像素不漏地把多边形内部填满，同时不污染多边形外部。于是我们发明了一条水平方向的扫描线，它从y=0开始，判断与多边形的交点，这些交点把扫描线分成了若干段，我们需要判断哪些段在多边形内部，哪些段在多边形外部，然后把内部的部分着色，完成后，令y=y+1，即扫描线上移一格，重复之前的操作，直到扫描线不再与多边形的任何部分相交。
例题（poj 1151）：
代码实现：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=;
double w[N<<];
double x,y,dx,dy,ans;
int n,res=,js; struct edge {
double l,r,h;
int f;
}e[N<<]; struct node {
int l,r,s;
double lc;
}q[N<<]; inline bool cmp(edge a,edge b) {
return a.h<b.h;
} inline void build (int i,int l,int r) {
q[i]=(node){l,r,,};
if(l==r) return;
int mid=(q[i].l+q[i].r)>>;
build(i<<,l,mid);
build(i<<|,mid+,r);
} inline void push_up(int i) {
if(q[i].s) q[i].lc=w[q[i].r+]-w[q[i].l];
else if(q[i].l==q[i].r) q[i].lc=;
else q[i].lc=q[i<<].lc+q[i<<|].lc;
} void up_date(int i,int l,int r,int v) {
if(q[i].l==l && q[i].r==r) {
q[i].s+=v;
push_up(i);
return;
}
int mid=(q[i].l+q[i].r)>>;
if(r<=mid) up_date(i<<,l,r,v);
else if(l>mid) up_date(i<<|,l,r,v);
else up_date(i<<,l,mid,v),up_date(i<<|,mid+,r,v);
push_up(i);
} inline void IU() {
e[js]=(edge) {x,dx,y,};
w[js]=x;
e[js+]=(edge){x,dx,dy,-};
w[js+]=dx;
} int main() {
while (scanf("%d",&n)== && n) {
js=;
for(int i=;i<n;++i) {
scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&dx,&dy);
IU(); js+=;
}
sort(e,e+js,cmp);
sort(w,w+js);
int k=;
for(int i=;i<js;++i)
if(w[i]!=w[i-]) w[k++]=w[i];
build(,,k-);
ans=;
for(int i=;i<js;++i) {
int l=lower_bound(w,w+k,e[i].l)-w;
int r=lower_bound(w,w+k,e[i].r)-w-;
up_date(,l,r,e[i].f);
ans+=(e[i+].h-e[i].h)*q[].lc;
}
printf("Test case #%d\n",++res);
printf("Total explored area: %.2f\n\n",ans);
}
return ;
}
//poj 1151
代码实现
二、线段树（大全）
知识点：
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。线段树至少支持下列操作:
1.Insert(t,x):将包含在区间 int 的元素 x 插入到树t中;
2.Delete(t,x):从线段树 t 中删除元素 x;
3.Search(t,x):返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。
线段树代码实现：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=;
int sum[N<<],a[N+];
int n,m,k,L,R; inline int read() {
int n=,f=;char ch=getchar();
while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}
return n*f;
} inline void push_up(int rt) {
sum[rt]=sum[rt<<]+sum[rt<<|];
} inline void build(int l,int r,int rt) {
if(l==r) {
sum[rt]=a[l];
return ;
}
int m=(l+r)>>;
build(l,m,rt<<),build(m+,r,rt<<|);
push_up(rt);
} inline int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
if(L<=l&&r<=R) return sum[rt];
int s=;
int m=(l+r)>>;
if(L<=m) s+=query(L,R,l,m,rt<<);
if(R>m) s+=query(L,R,m+,r,rt<<|);
return s;
} inline void up_date(int L,int C,int l,int r,int rt) {
if(l==r) {
sum[rt]+=C;
return;
}
int m=(l+r)>>;
if(L<=m) up_date(L,C,l,m,rt<<);
else up_date(L,C,m+,r,rt<<|);
push_up(rt);
} int main() {
n=read();
for(int i=;i<=n;++i) a[i]=read();
build(,n,);
m=read();
for(int i=;i<m;++i) {
k=read(),L=read(),R=read();
if(k==) up_date(L,R,,n,);
if(k==) printf("%d\n",query(L,R,,n,));
}
return ;
}
代码实现
线段树（区间加及求和）代码实现：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1000001
#define ll long long
using namespace std;
ll a[N],ans[N<<],t[N<<];
ll bz,b,c,d,e,f,n,m; inline ll read() {
ll n=,f=;char ch=getchar();
while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
return n*f;
} inline void pushup_(ll i) {
ans[i]=ans[i<<]+ans[i<<|];
} inline void build(ll i,ll l,ll r) {
t[i]=;
if(l==r) {
ans[i]=a[l];
return ;
}
ll mid=(l+r)>>;
build(i<<,l,mid);
build(i<<|,mid+,r);
pushup_(i);
} inline void work_(ll i,ll l,ll r,ll k) {
t[i]=t[i]+k;
ans[i]=ans[i]+k*(r-l+);
} inline void push_down(ll i,ll l,ll r) {
ll mid=(l+r)>>;
work_(i<<,l,mid,t[i]);
work_(i<<|,mid+,r,t[i]);
t[i]=;
} inline void _work(ll a,ll b,ll l,ll r,ll i,ll k) {
if(a<=l&&r<=b) {
ans[i]+=k*(r-l+);
t[i]+=k;
return ;
}
push_down(i,l,r);
ll mid=(l+r)>>;
if(a<=mid) _work(a,b,l,mid,i<<,k);
if(b>mid) _work(a,b,mid+,r,i<<|,k);
pushup_(i);
} inline ll query(ll a,ll b,ll l,ll r,ll i) {
ll s=;
if(a<=l&&r<=b) return ans[i];
ll mid=(l+r)>>;
push_down(i,l,r);
if(a<=mid) s+=query(a,b,l,mid,i<<);
if(b>mid) s+=query(a,b,mid+,r,i<<|);
return s;
} int main() {
n=read(),m=read();
for(ll i=;i<=n;++i) a[i]=read();
build(,,n);
while(m--) {
bz=read();
if(bz==) {
b=read(),c=read(),d=read();
_work(b,c,,n,,d);
continue;
}
if(bz==) {
e=read(),f=read();
printf("%lld\n",query(e,f,,n,));
continue;
}
}
return ;
}
代码实现
线段树（区间修改及询问）代码实现：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+;
ll t[N],bz[N],dz[N],L[N],R[N];
int n,m,f,x,y;
ll add; inline int read() {
int n=,f=;char ch=getchar();
while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
return n*f;
} inline ll readx() {
ll n=,f=;char ch=getchar();
while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
return n*f;
} inline void _work(int i,int l,int r) {
L[i]=l,R[i]=r;
int mid=(l+r)>>;
if(l==r) {
t[i]=dz[l];
return;
}
_work(i<<,l,mid),_work(i<<|,mid+,r);
t[i]=t[i<<]+t[i<<|];
} inline void down_(int i) {
if(bz[i]) {
int mid=(L[i]+R[i])>>;
t[i<<]+=(mid-L[i]+)*bz[i];
t[i<<|]+=(R[i]-mid)*bz[i];
bz[i<<]+=bz[i];
bz[i<<|]+=bz[i];
bz[i]=;
}
} inline void work_(int i,int l,int r,ll add) {
if(L[i]>=l && R[i]<=r) {
t[i]+=(R[i]-L[i]+)*add;
bz[i]+=add;
return;
}
if(L[i]>r || R[i]<l)return;
down_(i);
work_(i<<,l,r,add),work_(i<<|,l,r,add);
t[i]=t[i<<]+t[i<<|];
} inline ll query(int i,int l,int r) {
if(L[i]>=l && R[i]<=r) return t[i];
if(L[i]>r || R[i]<l) return ;
ll s=;
down_(i);
s+=query(i<<,l,r),s+=query(i<<|,l,r);
return s;
} int main() {
n=read();
for(int i=;i<=n;++i) dz[i]=readx();
m=read();
_work(,,n);
for(int i=;i<=m;++i) {
f=read();
switch(f) {
case :
x=read(),y=read(),add=readx();
work_(,x,y,add);
break;
case :
x=read(),y=read();
printf("%lld\n",query(,x,y));
break;
default:
printf("Orz %%%");
break;
}
}
return ;
}
代码实现
线段树（区间加乘及求和）代码实现：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long int
using namespace std;
int const N=4e5+; struct Tre {
ll sum, v, bz, l, r;
}e[N]; ll n,m,mod,L,R,val,bz;
ll t[N]; inline ll read() {
ll n=,f=;char ch=getchar();
while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
return n*f;
} inline void push_up(ll i) {
e[i].sum=(e[i<<].sum+e[i<<|].sum)%mod;
} inline void build(ll l, ll r, ll i) {
e[i].l=l,e[i].r=r,e[i].bz=;
if(l==r) {
e[i].sum=t[l]%mod;
return;
}
ll mid=(l+r)>>;
build(l,mid,i<<),build(mid+,r,i<<|);
push_up(i);
} inline void pushdown(ll i) {
if(e[i].bz!=) {
e[i<<].v*=e[i].bz; e[i<<|].v*=e[i].bz;
e[i<<].bz*=e[i].bz; e[i<<|].bz*=e[i].bz;
e[i<<].sum*=e[i].bz; e[i<<|].sum*=e[i].bz;
e[i<<].v%=mod; e[i<<|].v%=mod;
e[i<<].bz%=mod; e[i<<|].bz%=mod;
e[i<<].sum%=mod; e[i<<|].sum%=mod;
e[i].bz=;
}
if(e[i].v) {
e[i<<].v+=e[i].v; e[i<<|].v+=e[i].v;
e[i<<].sum+=(e[i<<].r-e[i<<].l+)*e[i].v;
e[i<<|].sum+=(e[i<<|].r-e[i<<|].l+)*e[i].v;
e[i<<].v%=mod; e[i<<|].v%=mod;
e[i<<].sum%=mod; e[i<<|].sum%=mod;
e[i].v=;
}
} inline void work_(ll i) {
if(e[i].l>=L && e[i].r<=R) {
e[i].bz*=val%mod; e[i].bz%=mod;
e[i].v*=val%mod; e[i].v%=mod;
e[i].sum*=val%mod; e[i].sum%=mod;
return;
}
pushdown(i);
ll mid=(e[i].l+e[i].r)>>;
if(L<=mid) work_(i<<);
if(R>mid) work_(i<<|);
push_up(i);
} inline void _work(ll i) {
if(e[i].l>=L && e[i].r<=R) {
e[i].sum+=((e[i].r-e[i].l+)*val)%mod;
e[i].sum%=mod; e[i].v+=val%mod;
e[i].v%=mod;
return;
}
pushdown(i);
ll mid=(e[i].l+e[i].r)>>;
if(L<=mid) _work(i<<);
if(R>mid) _work(i<<|);
push_up(i);
} inline ll query(ll i) {
if(e[i].l>=L && e[i].r<=R) return e[i].sum%mod;
pushdown(i);
ll mid=(e[i].l+e[i].r)>>, ret=;
if(L<=mid) ret=(ret+query(i<<)%mod)%mod;
if(R>mid) ret=(ret+query(i<<|)%mod)%mod;
push_up(i);
return ret%mod;
} int main() {
n=read(),m=read(),mod=read();
for(int i=;i<=n;++i) t[i]=read();
build(,n,);
for(int i=;i<=m;++i) {
bz=read();
if(bz==) {
L=read(),R=read(),val=read();
work_();
} else if(bz==) {
L=read(),R=read(),val=read();
_work();
} else {
L=read(),R=read();
printf("%d\n", query());
}
}
return ;
}
代码实现
线段树（区间修改及询问，单点修改及询问） 代码实现：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long int
using namespace std;
int n,m,opt,b,c,x;
const int N=6e5+; struct note {
int l,r,s;
} t[N]; inline int read() {
int n=,f=;char ch=getchar();
while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}
return n*f;
}
//建树
inline void build(int k,int l,int r) {
int lc=k<<,rc=k<<|;
t[k].l=l,t[k].r=r;
int mid=(l+r)/;
if(l==r) {
t[k].s=read();
return;
}
build(lc,l,mid),build(rc,mid+,r);
t[k].s=t[lc].s+t[rc].s;
}
//单点修改
inline void _change(int k,int p,int v) {
int lc=k<<,rc=k<<|;
int l=t[k].l,r=t[k].r;
if(l==r) {
t[k].s+=v;
return ;
}
int mid=(l+r)>>;
if(p<=mid) _change(lc,p,v);
else _change(rc,p,v);
t[k].s=t[lc].s+t[rc].s;
}
//区间修改
inline void change_(int k,int l,int r,int v) {
int lc=k<<,rc=k<<|;
if(t[k].l==t[k].r) {
t[k].s+=v;
return ;
}
int mid=(t[k].l+t[k].r)>>;
if(l<=mid) change_(lc,l,min(r,mid),v);
if(r>mid) change_(rc,max(l,mid+),r,v);
t[k].s=t[lc].s+t[rc].s;
}
//单点查询
inline int _query(int k,int p) {
int lc=k<<,rc=k<<|;
int l=t[k].l,r=t[k].r;
if(l==r) return t[k].s;
int mid=(l+r)>>;
if(p<=mid) return _query(lc,p);
else return _query(rc,p);
}
//区间查询
inline int query_(int k,int l,int r) {
int lc=k<<,rc=k<<|;
if(t[k].l==l&&t[k].r==r) return t[k].s;
int mid=(t[k].l+t[k].r)>>,ans=;
if(l<=mid) ans+=query_(lc,l,min(r,mid));
if(r>mid) ans+=query_(rc,max(l,mid+),r);
return ans;
} int main() {
n=read();
build(,,n);
m=read();
for(int i=;i<=m;++i) {
opt=read();
if(opt==) {
b=read(),c=read(),x=read();
change_(,b,c,x);
}
if(opt==) {
b=read();
printf("%d\n",_query(,b));
}
if(opt==) {lue...}
if(opt==) {lue...}
}
return ;
}
代码实现
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