【洛谷 P1641】 [SCOI2010]生成字符串（Catalan数）

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可以看成在坐标系中从\((0,0)\)用\(n+m\)步走到\((n+m,n-m)\)的方案数，只能向右上\((1)\)或者右下\((0)\)走，而且不能走到\(y=-1\)这条直线上。

不考虑最后那个限制条件的话就是\(n+m\)次中选\(m\)次往右下走,即\(C(n+m,m)\)。

然后根据对称原理，从\((0,0)\)走到\(y=-1\)上就相当于从\((0,-2)\)走到\(y=-1\)上，其方案数是一样的，所以经过\(y=-1\)的方案数其实就是从\((0,-2)\)走到\((n+m,n-m)\)的方案数，也就是\(C(n+m,m-1)\)

所以这题唯一的标签“逆元”也只是用来求组合数的而已。

#include <cstdio>
#define ll long long
int n, m;
const int MOD = 20100403;
void exgcd(ll &x, ll &y, ll a, ll b){
	if(!b){ x = 1; y = 0; return; }
	exgcd(x, y, b, a % b);
	ll z = x; x = y; y = z - a / b * y;
}
int fact[2000010];
ll x, y, X, Y;
int C(int n, int m){
	exgcd(x, y, fact[m], MOD); exgcd(X, Y, fact[n - m], MOD);
	return ((ll)fact[n] * x % MOD * X % MOD + MOD) % MOD;
}
int main(){
	fact[0] = 1;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= 2000000; ++i)
		fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % MOD;
	printf("%d\n", ((C(n + m, m) - C(n + m, m - 1)) % MOD + MOD) % MOD);
	return 0;
}