『正睿OI 2019SC Day1』

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概率与期望

总结

老师上午几乎是在讲数学课，没有讲什么和\(OI\)有关的题目，所以我就做了一点笔记。

到了下午，老师讲完了有关知识点和经典模型，就开始讲例题了。前两道例题是以前就做过的，所以没有什么问题。后几道例题难度就有所提升了，老师共计讲了\(10\)到例题，有关笔记基本上都记了 ，但是区间翻转，排序两题笔记有点缺漏，导致听挂了，还有Deep Dark Forest和凸包两题可能在细节上还有一点问题。

有关解题策略，还可以看大佬的博客。

知识点

大概的内容就是有关期望和概率的基础概念，重要公式和若干经典问题的解答，以及一些技巧和运用的方法，重要的几个内容如下：

\(1.\) \[\sum_{i=0}^nx^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\]
就是等比数列求和公式，只需将等式两边同乘分母化简即可证明。

\(2.\) \[\lim_{n->\infty}\sum_{i=0}^nx^i=\frac{1}{1-x}\tag{0<x<1}\]
利用极限思想即可得到。

\(3.\) \[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]
期望的线性性，对于任意随机变量\(X,Y\)成立，可以利用定义直接证明。

\(4.\) \[P(X=k)=P(X\leq k)-P(X
\leq k-1)\\P(X=k)=P(X\geq k) -P(X\geq k+1)\]
概率的前缀和，后缀和转换，可以用于推导化简。

\(5.\) 发生概率为\(p\)的事件期望在\(\frac{1}{p}\)次后发生。
证明：设随机变量\(X\)代表直到该事件发生时的次数，则有：
\[E(X)=\sum_{i}P(X=i)*i\\=\sum_{i} \left ( P(X\geq i)-P(X\geq i+1) \right )*i\\=\sum_{i=1}^{\infty}((1-p)^{i-1}-(1-p)^{i})*i\\=\sum_{i=0}^{\infty}(1-p)^i=\frac{1}{p}\]

\(6.\) \[E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\geq i)\]
对于离散变量\(X\)，可以证明如下：\[E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X=i)*i\\=\sum_{i=1}^{\infty}(P(X\geq i)-P(X\geq i+1))*i\\=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\geq i)\]

对于经典问题的解答，可以参照这篇博客和笔记。

例题

例题感觉难度还是有的，也比较切合今天的知识点。但是老师讲的速度比较快，可能对题目理解还不是很透彻。在讲课时，做笔记还是很必要的，并且一定要跟上老师讲课的节奏，以防走神，如果有哪到题的笔记有问题，就先跳过，听懂当前的题，把问题留下来再解决。

以下是例题的简要题解：

\(1.\) 换教室：预处理两两教室之间的最短距离，考虑每一个教师是否申请，进行线性\(dp\)计算最小期望即可。

\(2.\) \(Deep\ Dark\ Forest\)：利用公式\(6\)将期望转化为不等式概率求和的形式。然后枚举直径长度限制\(k\)，用树形\(dp\)求概率即可。(状态：\(f[x][l]\)代表以\(x\)为根的子树中，最长链长度为\(l\)的概率)

\(3.\) 球染色：设\(f[i]\)代表当前有\(i\)个颜色为\(x\)的点，可以计算当前状态选取数对产生\(1\)，\(0\)，\(-1\)贡献的概率，化简方程线性递推即可。

\(4.\) 区间翻转：利用期望线性性转换，即求最后第\(i\)个点的取值期望。设\(f[j][0/1]\)代表第\(j\)次操作后，第\(i\)个位置为\(0/1\)的概率，设\(p_i\)代表随机一个区间，包含点\(i\)的概率。利用\(p_i\)来\(dp\)即可，需要矩阵乘法加速递推。

\(5.\) 凸包：先利用期望的线性性进行转换，同时利用点边转换(凸包上的点数等于凸包上的边数)，即求边\((i,j)\)在凸包上的概率，同时也是期望，可以根据凸包边的性质来统计。

\(6.\) 单选错位：先利用期望的线性性进行转换，即求每一个位置的数抄错后正确的期望，发现可以直接表示。

\(7.\) \(kill\)：先将题目等效转换，对每一个人一一处理，只选没死的人进行开枪操作。设\(f[i][j]\)代表还剩\(i\)个人，前面有\(j\)个人开了枪的概率，根据开枪次数计算概率转移即可。

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