从$a_n=f(n)$的角度理解数列中的表达式$a_{n+1}=\frac{k}{a_n}$

函数周期性

前面我们学习过函数的周期性的给出方式：

\(f(x+a)=f(x)\) \(\hspace{2cm}\) \(T=a\)

\(f(x+a)=-f(x)\) \(\hspace{2cm}\) \(T=2a\)

推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=- - f(x)=f(x)\)，所以\(T=2a\)

\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\ne 0)\) \(\hspace{2cm}\) \(T=2a\)

推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\frac{k}{f(x)}}=f(x)\)，所以\(T=2a\)

\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\) \(\hspace{1cm}\) \(T=6\)

推导：\(f(x+1)=f(x)+f(x-1)\)，两式相减得到，\(f(x+2)=-f(x-1)\)，从而得到\(f(x+3)=-f(x)\)，所以\(T=6\)

数列周期性

我们经常强调数列是个特殊的函数，\(a_n=f(n)\)，那么借助上面的推导你能很轻松的得出以下的结论吗？

\(a_{n+3}=a_n\) \(\hspace{2cm}\) \(T=6\)

\(a_{n+3}=-a_n\) \(\hspace{2cm}\) \(T=6\)

\(a_{n+3}=\cfrac{k}{a_n}\) \(\hspace{2cm}\) \(T=6\)

\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\) \(\hspace{2cm}\) \(T=6\)

【提示】表达式\(a_{n+3}=-a_n\)可以改写为\(f(n+3)=-f(n)\)，你能看出怎么推导吗？

再次理解：数列是特殊的函数吗？