【学术篇】CF935E Fafa and Ancient Mathematics 树形dp

前言

这是一道cf的比赛题..

比赛的时候C题因为自己加了一个很显然不对的特判WA了7次但找不出原因就弃疗了...

然后就想划水, 但是只做了AB又不太好... 估计rating会掉惨 (然而事实证明rating一点没变)

就去看看别的题,, 但是英语不好, 看题要看半天, 看看这个E题题目名称像是数论?(mmp估计是受到了古代猪文的影响). 点进去没仔细读题好像是个等价表达式一样的题目? 好像很麻烦还1h不写了(没错C题细节各种挂调了好久好久, 当时已经是很绝望了OvO)

结果这题tm是个dp...

题意

英文题一定要有的一个部分... 毕竟

这么长时间不学, 还会说英语吗? ——wcg

所以还是要翻译一下...

就是给一个运算符都被扣掉的表达式, 让你往里面填\(P\)个\(+\)和\(M\)个\(-\), 求最大的可能的结果.

表达式中的数字都是一位数, 而且每一层运算都套了一个括号, (这样才比较方便处理, 其实麻烦一点也能处理但是...)

分析

显然地, 我们可以把表达式画成一棵树. 以第四组样例为例, 我们可以画出一棵这样的树:

然后怎么建树啊, 我们知道这棵树肯定是从底往上建的, 所以我们要利用一种神奇的, 叫"栈"的数据结构.

我们用一个临时变量tmp来储存等待着父亲的左儿子. 这个左儿子可能是一个数, 也可能是一个点. 为了方便起见, 我们让点的标号从11开始(因为数字只有一位...那你说为什么不用10呢?).

• 当我们扫到一个数字的时候, 把tmp设置为这个数字.
• 当我们扫到一个?的时候, 我们建立一个新节点(其实就是++tot就行了), 将tmp作为他的左儿子, 右儿子先留空.
  
  然后将其入栈, 表示接下来的一个右儿子应该去找它.
• 当我们遇到一个)的时候, 我们将tmp作为栈顶元素的右儿子. 然后将tmp设置为栈顶元素, 栈顶元素出栈.

发现自己并不能解释清楚为什么要这么搞... 自己画画图体会一下吧OvO.

建好树后我们来设计状态:

• 令\(f[x][i]\)表示在以\(x\)为根的子树中使用了\(i\)个\(+\)得到的最大值
• 由于有-的存在, 我们令\(g[x][i]\)表示在以\(x\)为根的子树中国使用了\(i\)个\(+\)得到的最小值

然后我们就记忆化搜索一波, 枚举\(+\)的个数做就行了, 对于当前节点:

• 这个节点是个数字? 直接返回咯~

• 两个儿子都是数字? 直接算咯~

• 填\(+\):
  
  f[x][i]=max{f[lson[x]][j]+f[rson[x]][i-j-1]},j=0..i-1
  
  左右两儿子都取最大时和最大
  
  g[x][i]=min{g[lson[x]][j]+g[rson[x]][i-j-1]}
  
  左右两儿子都取最小时和最小

• 填\(-\):
  
  f[x][i]=max{f[lson[x]][j]-g[rson[x]][i-j-1]}
  
  左儿子取最大, 右儿子取最小时差最大
  
  g[x][i]=min{g[lson[x]][j]-f[rson[x]][i-j-1]}

  左儿子取最小, 右儿子取最大时差最小.

这样就做完了(假的), 时间复杂度\(O(n*P)\), 可能会过不了.

而且空间复杂度也是\(O(n*P)\)的, 数组应该开不开..

但是呢\(min(P,M)\leq100\), 这样我们就可以分类讨论一下, 然后用上面的做法只枚举较少的那个符号...

这样时空复杂度就都能过辣...

代码(写的有点丑,没怎么压行,calcMax和calcMin基本是一样的...):

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int INF=1000000007;
inline int max(const int &a,const int &b){return a>b?a:b;}
inline int min(const int &a,const int &b){return a<b?a:b;}
int t[5015][2],f[5005][102],g[5005][102],sz[5005];
int stk[5005],tp,cur,tot=10,rt;
char str[10010]; bool now;
void dfssz(int x){ //用子树中包含运算符的个数来排除一部分不合法状态.
	sz[x]=1;
	if(t[x][0]>10) dfssz(t[x][0]),sz[x]+=sz[t[x][0]];
	if(t[x][1]>10) dfssz(t[x][1]),sz[x]+=sz[t[x][1]];
}
void init(){ //建树
	memset(f,192,sizeof(f));
	memset(g,127,sizeof(g));
	int l=strlen(str),fa;
	for(int i=0;i<l;++i){
		if(isdigit(str[i]))
			cur=str[i]-'0';
		if(str[i]=='?'){
			stk[++tp]=++tot;
			t[tot][0]=cur;
		}
		if(str[i]==')'){
			fa=stk[tp--];
			t[fa][1]=cur;
			cur=rt=fa;
		}
	}
	dfssz(rt);
}
int calcMax(int x,int p);
int calcMin(int x,int p){
	if(p<0||p>sz[x]) return INF;
	if(x<10) return x;
	if(sz[x]==1) return now==(bool)p?t[x][0]+t[x][1]:t[x][0]-t[x][1];
	if(g[x][p]<INF) return g[x][p];
	int mn=min(sz[t[x][0]],p),ans1,ans2;
	for(int i=0;i<=mn;++i){
		ans1=calcMin(t[x][0],i)+calcMin(t[x][1],p-now-i);	//+
		ans2=calcMin(t[x][0],i)-calcMax(t[x][1],p+now-1-i);	//-
		g[x][p]=min(g[x][p],min(ans1,ans2));
	}
	return g[x][p];
}
int calcMax(int x,int p){
	if(p<0||p>sz[x]) return -INF;
	if(x<10) return x;
	if(sz[x]==1) return now==(bool)p?t[x][0]+t[x][1]:t[x][0]-t[x][1];
	if(f[x][p]>-INF) return f[x][p];
	int mn=min(sz[t[x][0]],p),ans1,ans2;
	for(int i=0;i<=mn;++i){
		ans1=calcMax(t[x][0],i)+calcMax(t[x][1],p-now-i);	//+
		ans2=calcMax(t[x][0],i)-calcMin(t[x][1],p+now-1-i);	//-
		f[x][p]=max(f[x][p],max(ans1,ans2));
	}
	return f[x][p];
}
int main(){
	scanf("%s",str);
	if(strlen(str)==1){puts(str);return 0;}
	init();
	int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);
	if(a<b) now=1; else now=0; //now用来标记+多还是-多
	printf("%d",calcMax(rt,now?a:b));
}

过了一个假期颓成狗了... 代码都不会写了快...

啊啊啊啊啊下午还要测试怎么办啊~