UVA-12304 2D Geometry 110 in 1! （有关圆的基本操作）

UVA-12304 2D Geometry 110 in 1!

该问题包含以下几个子问题

1. CircumscribedCircle x1 y1 x2 y2 x3 y3 : 三角形外接圆

2. InscribedCircle x1 y1 x2 y2 x3 y3: 三角形内接圆

3. TangentLineThroughPoint xc yc r xp yp 过一点做圆的切线

4. CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius xp yp x1 y1 x2 y2 r：找到半径为r，通过p点，并且与直线L相切的圆

5. CircleTangentToTwoLinesWithRadius x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 r：与两条直线相切，并且半径为r

6. CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius x1 y1 r1 x2 y2 r2 r：求出所有与这两个圆外切，半径为r的圆

下面代码很多都是在模板基础上面写的：几何模板

1. 求三角形的外接圆

根据初中知识，三边垂直平分线的交点就是圆心，求出圆心很容易可以求出半径，所以现在需要求一个线段的垂直平分线，以及两条线段的交点。线段的中点可以用两端点取平均来求，垂直平分线可以用将向量\(\vec{AB}\) 转90度得到向量，在线段中点基础上就可以得到垂直平分线了。

// circle 结构体的构造函数
circle(Point a, Point b, Point c){
    Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
    Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
    p = u.crosspoint(v); // p 为 u 与 v 的交点
    r = p.distance(a);
}

2. 求三角形的内接圆

circle(Point a, Point b, Point c, bool t){
    Line u, v;
    // u 为角 a 的平分线, m 为ab向量极角，n为ac向量极角，取平均得到角平分线的极角
    db m  = atan2(b.y-a.y, b.x-a.x), n = atan2(c.y - a.y, c.x - a.x);
    u.s = a;
    u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2)); // u.s + 角平分线单位向量得到角平分线
    // v 为角 b 的平分线
    m = atan2(a.y-b.y, a.x-b.x), n = atan2(c.y-b.y, c.x-b.x);
    v.s = b;
    v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
    p = u.crosspoint(v); // 得到圆心
    r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
}

3. 过一点做圆的切线

首先判断点与圆的关系

• 若点在圆内，则没有通过该点的切线d
• 若点在圆上，可以通过将圆心连向它的线段转90度得到切线
• 若点在圆外，如下图所示，我们可以计算出\(\ang CAB\) ，进而计算出\(|\vec{AD}|,|\vec{DC}|\)，然后在A的基础上加上这两个向量得到C，进而得到一条切线，下面的切点可以用同样的方法得到。

/*
        点和圆的关系
        0 圆外
        1 圆上
        2 圆内
*/
int relation(Point b){
    db dst = b.distance(p);
    if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
    else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
    return 0;
}
// 过一点作圆的切线 (先判断点和圆的关系)
int tangentline(Point q, Line &u, Line &v){
    int x = relation(q);
    if(x == 2) return 0; //圆内
    if(x == 1){ //圆上
        u = Line(q, q+(q-p).rotleft());
        v = u;
        return 1;
    }
    db d = p.distance(q); // 得到AB向量的大小
    db l = r * r / d;	// 通过余弦定理，得到 AD向量大小
    db h = sqrt(r * r - l * l);	// 通过勾股定理求出DC向量大小
    // vec.trunc(r) 表示将vec向量大小调整为r, rotleft表示逆时针旋转90度
    u = Line(q, p + ((q - p).trunc(l) + (q - p).rotleft().trunc(h)));
    v = Line(q, p + (q - p).trunc(l) + (q - p).rotright().trunc(h));
    return 2;
}

4. 找到半径为r，通过p点，并且与直线L相切的圆

先讨论 p 点与 L 的距离 dis

• 若\(dis \gt 2*r\) ，则没有这样的圆

• 若\(dis = 0\) ，则p 点在直线上，利用前面提到的方法，得到一个长度为 r 的向量，并且与直线夹角为90度，与 p 相加后可以得到圆心。（这样的圆心有两个）

• 其他情况可以见下图：

  

  红线为L，绿线为平行线，红线与绿线的长度为 r，以 p 为圆心，r为半径做圆，与平行线交于两点（只有可能是两个点），这两点就是符合题意的圆的圆心

// 得到与直线 u 相切，过点 q， 半径为 r1 的圆
int getcircle(Line u, Point q, db r1, circle &c1, circle &c2){
    db dis = u.dispointtoline(q); // 直线 u 与 q 的距离
    if(sgn(dis - r1 * 2) > 0) return 0;// dis > r1 * 2
    if(sgn(dis) == 0){	// q 在 u 上面
        c1.p = q + ((u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
        c2.p = q + ((u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
        c1.r = c2.r = r1;
        return 2;
    }
    // u1, u2 为两条平行线
    Line u1 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)));
    Line u2 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)));
    circle cc = circle(q, r1);
    Point p1, p2;
    // cc 与 u1,u2 两条线中的一个相交
    if(!cc.pointcrossline(u1, p1, p2)) cc.pointcrossline(u2, p1, p2);
    c1 = circle(p1, r1);
    if(p1 == p2){ // 可能两个圆是重合的，这个对应 dis = 2*ri 的情况
        c2 = c1;
        return 1;
    }
    c2 = circle(p2, r1);
    return 2;
}

5. 与两条直线l1,l2相切，并且半径为r

题目保证了两条直线不是相交的，但是不妨思考一下，如果是平行的话，只有可能是 0 或者是无限个

对于不相交的情况，先上图再说（红色为l1和l2，蓝色为平行线）

相信你一看图就明白了，就是找到两个直线的平行线求交点，这样的交点一定有四个。

// 同时与直线u，v相切，半径为r1的圆
int getcircle(Line u, Line v, db r1, circle &c1, circle &c2, circle &c3, circle &c4){
    if(u.parallel(v)) return 0;
    Line u1 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
    Line u2 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
    Line v1 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1));
    Line v2 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1));

    c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
    c1.p = u1.crosspoint(v1);
    c2.p = u1.crosspoint(v2);
    c3.p = u2.crosspoint(v1);
    c4.p = u2.crosspoint(v2);
    return 4;
}

6. 求出所有与两个圆c1, c2外切，半径为r的圆

将 c1 与 c2 半径都扩大 r，求扩大的两个圆的交点即可。如何求圆的交点？

三角形\(\triangle ABE\) 三边都是确定的，由余弦定理求出\(\ang \alpha\) 的角度，然后来求出 E

/*
    两圆的关系
    5 相离
    4 外切
    3 相交
    2 内切
    1 内含
*/
int relationcircle(circle v){
    db d = p.distance(v.p);
    if(sgn(d - r - v.r) > 0) return 5;
    if(sgn(d - r - v.r) == 0) return 4;
    db l = fabs(r - v.r);
    if(sgn(d - r - v.r) < 0 && sgn(d - l) > 0) return 3;
    if(sgn(d - l) == 0) return 2;
    if(sgn(d - l) < 0) return 1;
}
/*
    求两个圆的交点，返回0表示没有交点，返回1是一个交点，2是两个交点
*/
int pointcrosscircle(circle v, Point &p1, Point &p2){
    int rel = relationcircle(v);
    // 相离或者内含
    if(rel == 1 || rel == 5) return 0;
    // d 为圆心距，下面求E的方法类似问题3
    db d = p.distance(v.p);
    db l = (d * d + r * r - v.r * v.r) / (2 * d);
    db h = sqrt(r * r - l * l);
    Point tmp = p + (v.p - p).trunc(l);
    p1 = tmp + ((v.p - p).rotleft().trunc(h));
    p2 = tmp + ((v.p - p).rotright().trunc(h));
    if(rel == 2 || rel == 4)return 1;
    return 2;
}
// 同时与不相交圆 cx, cy 相切，半径为r1的圆
int getcircle(circle cx, circle cy, db r1, circle &c1, circle &c2){
    // 得到两个更大的圆
    circle x(cx.p, r1+cx.r), y(cy.p, r1+cy.r);
    // 求两个圆的交点
    int t = x.pointcrosscircle(y, c1.p, c2.p);
    if(!t) return 0;
    c1.r = c2.r = r1;
    return t;
}

AC代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << "\033[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
const int N = 100 + 5;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
const db pi = acos(-1.0);
int sgn(db x){
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    if(x < 0) return -1;
    return 1;
}

struct Point{
    db x, y;
    Point(){}
    Point(db x, db y):x(x), y(y){}
    void input(){
        scanf("%lf%lf",&x, &y);
    }
    bool operator == (Point b)const {
        return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;
    }
    bool operator < (Point b)const{
        return sgn(x-b.x) == 0 ? sgn(y - b.y) < 0 : x < b.x;
    }
    Point operator - (const Point &b)const{
        return Point(x - b.x, y - b.y);
    }
    db operator ^ (const Point &b)const{
        return x * b.y - y * b.x;
    }
    db operator * (const Point &b)const{
        return x * b.x + y * b.y;
    }
    // 返回长度
    db len(){
        return hypot(x, y);
    }
    // 返回长度平方
    db len2(){
        return x * x + y * y;
    }
    //返回两点距离
    db distance(Point p){
        return hypot(x - p.x, y - p.y);
    }
    Point operator + (const Point &b)const{
        return Point(x + b.x, y + b.y);
    }
    Point operator * (const db &k) const {
        return Point(x * k,  y * k);
    }
    Point operator /(const db &k)const {
        return Point(x / k, y / k);
    }
    // 逆时针旋转90度
    Point rotleft(){
        return Point(-y, x);
    }
    // 顺时针转90度
    Point rotright(){
        return Point(y, -x);
    }
    // 化为长度为 r 的向量
    Point trunc(db r){
        db l = len();
        if(!sgn(l)) return *this;
        r /= l;
        return Point(x*r, y*r);
    }
};
struct Line{
    Point s, e;
    Line(){}
    Line(Point s, Point e):s(s),e(e){}
    void input(){
        s.input();
        e.input();
    }
    db dispointtoline(Point p){
        return fabs((p-s) ^ (e-s)) / length();
    }
    db length(){
        return s.distance(e);
    }
    // 返回直线倾斜角 0 <= angle < pi
    db angle(){
        db k = atan2(e.y - s.y, e.x - s.x);
        if(sgn(k) < 0) k += pi;
        if(sgn(k - pi) == 0) k -= pi;
        return k;
    }
    // 点到线段的距离
    db dispointtoseg(Point p){
        if(sgn((p-s)*(e-s)) < 0 || sgn((p-e) * (s-e)) < 0)
            return min(p.distance(s), p.distance(e));
        return dispointtoline(p);
    }
    Point crosspoint(Line v){
        db a1 = (v.e - v.s) ^ (s - v.s);
        db a2 = (v.e - v.s) ^ (e - v.s);
        return Point((s.x * a2 - e.x * a1) / (a2 - a1), (s.y * a2 - e.y * a1) / (a2 - a1));
    }
    /*
        返回 p 在直线上的投影
    */
    Point lineprog(Point p){
        return s + ( ((e-s)*((e-s)*(p-s)))/((e-s).len2()) );
    }
    // 两向量平行（对应直线平行或重合）
    bool parallel(Line v){
        return sgn((e - s) ^ (v.e - v.s)) == 0;
    }
};
struct circle{
    Point p;
    db r;
    circle(){}
    circle(Point p, db r):p(p), r(r){}
    bool operator < (circle b)const{
        return p < b.p;
    }
    void input(){
        p.input();
        // 注意类型
        scanf("%lf", &r);
    }
    /*
        三角形的外接圆
        需要Point 的 + / rotate() 以及 Line 的crosspoint()
        利用两条边的中垂线得到圆心
        UVA 12304
    */
    circle(Point a, Point b, Point c){
        Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
        Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
        p = u.crosspoint(v);
        r = p.distance(a);
    }
    /*
        三角形的内切圆
        bool t 没有作用，只是为了和上面外接圆函数区别
        UVA 12304
    */
    circle(Point a, Point b, Point c, bool t){
        Line u, v;
        // u 为角 a 的平分线
        db m  = atan2(b.y-a.y, b.x-a.x), n = atan2(c.y - a.y, c.x - a.x);
        u.s = a;
        u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
        // v 为角 b 的平分线
        m = atan2(a.y-b.y, a.x-b.x), n = atan2(c.y-b.y, c.x-b.x);
        v.s = b;
        v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
        p = u.crosspoint(v);
        r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
    }
    /*
        点和圆的关系
        0 圆外
        1 圆上
        2 圆内
    */
   int relation(Point b){
       db dst = b.distance(p);
       if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
       else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
       return 0;
   }
    /*
        线段和圆的关系
        比较的是圆心到线段的距离和半径的关系
        2 交
        1 切
        0 不交
   */
    int relation(Line v){
        db dst = v.dispointtoseg(p);
        if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
        else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
        return 0;
    }
    int relationline(Line v){
        db dst = v.dispointtoline(p);
        if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
        else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
        return 0;
    }
    // 过一点作圆的切线 (先判断点和圆的关系)
    int tangentline(Point q, Line &u, Line &v){
        int x = relation(q);
        if(x == 2) return 0; //圆内
        if(x == 1){ //圆上
            u = Line(q, q+(q-p).rotleft());
            v = u;
            return 1;
        }
        db d = p.distance(q);
        db l = r * r / d;
        db h = sqrt(r * r - l * l);
        u = Line(q, p + ((q - p).trunc(l) + (q - p).rotleft().trunc(h)));
        v = Line(q, p + (q - p).trunc(l) + (q - p).rotright().trunc(h));
        return 2;
    }
    // 求直线与圆的交点，返回交点个数
    int pointcrossline(Line v, Point &p1, Point &p2){
        if(!(*this).relationline(v)) return 0;
        Point a = v.lineprog(p);
        db d = v.dispointtoline(p);
        d = sqrt(r * r - d * d);
        if(sgn(d) == 0){
            p1 = a;
            p2 = a;
            return 1;
        }
        p1 = a + (v.e - v.s).trunc(d);
        p2 = a - (v.e - v.s).trunc(d);
        return 2;
    }
    // 得到与直线 u 相切，过点 q， 半径为 r1 的圆
    int getcircle(Line u, Point q, db r1, circle &c1, circle &c2){
        db dis = u.dispointtoline(q);
        if(sgn(dis - r1 * 2) > 0) return 0;
        if(sgn(dis) == 0){
            c1.p = q + ((u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
            c2.p = q + ((u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
            c1.r = c2.r = r1;
            return 2;
        }
        Line u1 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)));
        Line u2 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)));
        circle cc = circle(q, r1);
        Point p1, p2;
        if(!cc.pointcrossline(u1, p1, p2)) cc.pointcrossline(u2, p1, p2);
        c1 = circle(p1, r1);
        if(p1 == p2){
            c2 = c1;
            return 1;
        }
        c2 = circle(p2, r1);
        return 2;
    }
    // 同时与直线u，v相切，半径为r1的圆
    int getcircle(Line u, Line v, db r1, circle &c1, circle &c2, circle &c3, circle &c4){
        if(u.parallel(v)) return 0;
        Line u1 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
        Line u2 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
        Line v1 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1));
        Line v2 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1));

        c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
        c1.p = u1.crosspoint(v1);
        c2.p = u1.crosspoint(v2);
        c3.p = u2.crosspoint(v1);
        c4.p = u2.crosspoint(v2);
        return 4;
    }
    /*
        两圆的关系
        5 相离
        4 外切
        3 相交
        2 内切
        1 内含
    */
    int relationcircle(circle v){
        db d = p.distance(v.p);
        if(sgn(d - r - v.r) > 0) return 5;
        if(sgn(d - r - v.r) == 0) return 4;
        db l = fabs(r - v.r);
        if(sgn(d - r - v.r) < 0 && sgn(d - l) > 0) return 3;
        if(sgn(d - l) == 0) return 2;
        if(sgn(d - l) < 0) return 1;
    }
    /*
        求两个圆的交点，返回0表示没有交点，返回1是一个交点，2是两个交点
    */
    int pointcrosscircle(circle v, Point &p1, Point &p2){
        int rel = relationcircle(v);
        if(rel == 1 || rel == 5) return 0;
        db d = p.distance(v.p);
        db l = (d * d + r * r - v.r * v.r) / (2 * d);
        db h = sqrt(r * r - l * l);
        Point tmp = p + (v.p - p).trunc(l);
        p1 = tmp + ((v.p - p).rotleft().trunc(h));
        p2 = tmp + ((v.p - p).rotright().trunc(h));
        if(rel == 2 || rel == 4)return 1;
        return 2;
    }
    // 同时与不相交圆 cx, cy 相切，半径为r1的圆
    int getcircle(circle cx, circle cy, db r1, circle &c1, circle &c2){
        circle x(cx.p, r1+cx.r), y(cy.p, r1+cy.r);
        int t = x.pointcrosscircle(y, c1.p, c2.p);
        if(!t) return 0;
        c1.r = c2.r = r1;
        return t;
    }
};
string op;
int main(){
    while(cin >> op){
        if(op == "CircumscribedCircle"){
            Point a, b, c;
            a.input();b.input();c.input();
            circle C(a, b, c);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)\n", C.p.x, C.p.y, C.r);
        }else if(op == "InscribedCircle"){
            Point a, b, c;
            a.input();b.input();c.input();
            circle C(a, b, c, true);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)\n", C.p.x, C.p.y, C.r);
        }else if(op == "TangentLineThroughPoint"){
            Point p;
            circle c;
            c.input();p.input();
            Line l[2];
            int cnt = c.tangentline(p, l[0], l[1]);
            sort(l, l+cnt, [](Line a, Line b){return a.angle() < b.angle();});
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("%.6f", l[i].angle()/pi*180);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius"){
            Point p;
            Line l;
            db r;
            p.input();l.input();scanf("%lf", &r);
            circle c[2];
            int cnt = circle().getcircle(l, p, r, c[0], c[1]);
            sort(c,c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleTangentToTwoLinesWithRadius"){
            Line l[2];
            db r;
            l[0].input();l[1].input();
            scanf("%lf", &r);
            circle c[4];
            int cnt = circle().getcircle(l[0], l[1], r, c[0], c[1], c[2], c[3]);
            sort(c,c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius"){
            circle c1, c2, c[4];
            c1.input();c2.input();
            db r;scanf("%lf", &r);
            int cnt = circle().getcircle(c1, c2, r, c[0], c[1]);
            sort(c, c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }
    }

    return 0;
}