luogu 1587 [NOI2016]循环之美

LINK：NOI2016循环之美

这道题是 给出n m k 求出\(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m\) \(\frac{i}{j}\)在k进制下是一个纯循环的。

由于数值相同的分数不能记录 所以 \((i,j)==1\) 对于是一个纯循环的数我们先从最熟悉的10进制下说起。

可以发现\(\frac{1}{7},\frac{1}{13}\)等等都是纯循环的 而\(\frac{1}{6},\frac{1}{4}\)等等非纯循环。

于是可以发现 当j和10互质的时候此时是纯循环。不妨证明这一点。

当 j和10互质的时候 可以发现j和10没有共有的因子所以\(10^w\)在mod j的情况下是有循环的。这类似于完全剩余系。

当j和10不互质 时 显然可以发现 前半部分时非循环后半部分由于因数被消掉之后 剩下和10互质的数 所以后半部分时一个循环 但此时已经不满足条件了。

从10 我们发现一个有意思的时候 那就是我们好像可以推广到K进制 在K进制下也是一个纯循环的数当且仅当 j在K进制下和K互质。

举个例子 在5进制下 \(\frac{3}{4}\) 4和5 互质 而且你可以自己手算一下这个结果是0.33333333 在5进制下。

说明我们假设成立。(考场上还是要靠猜的。

但是这样求还是很困难 因为j在K进制下和K互质 nm暴力之外还要把 j转成K进制 还要再求gcd 这着实优化不了。

O(m)暴力我们都T掉了。

考虑两个数字互质有 (a,b)==1 在K进制下 \((...+p_1k^1+p_0k^0,...+b_1k^1+b_0k^0)\)这个东西gcd会是多少呢

我猜测是1 /cy 通过不断的打表发现是正确的。于是不考虑证明我们得到这样的一个式子。

题目要求的是 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[(i,j)=1][(j,k)=1]\)

随便变型一下：\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1,且(j,k)=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\)

\(\to \sum_{d=1}^{n}\mu(d)\frac{n}{d}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[(jd,k)=1]\)

你发现都推到这里了 还是很难求。

但是到了这个地方再把互质的条件进行反演会非常繁杂。

一般到这个时候直接整除分块。所以我们只需要考虑 \(\sum_{d=1}^{n}[(d,k)=1]\mu(d)\)这个东西和\(\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[(j,k)=1]\)的前缀和即可。

先考虑后面 设函数g(x)表示 \(\sum_{i=1}{x}[(i,k)=1]\) 那么\(g(x)=\frac{x}{k}g(k)+g(x\mod k)\)

那么预处理g函数很简单 O(k)枚举暴力算即可。

考虑前面那个东西的前缀和 \(S(n,k)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)[(d,k)=1]\)

这个时候没有什么办法化简了 而直接求是复杂度很高。

反演一下 \(S(n,k)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{x|d,x|k}\mu(x)\)

\(S(n,k)=\sum_{x|k}\mu(x)\sum_{d=1}{\frac{n}{x}}\mu(xd)\)

这个时候 看起来没办法化简了 但是其实我们观察一下\(\mu(xd)\) \((x,d)\neq 1\)时 对答案才有贡献。

由积性函数可得 \(S(n,k)=\sum_{x|k}\mu(x)\sum_{d=1}{\frac{n}{x}}\mu(d)\mu(x)[(x,d)=1]\)

根据我们S函数的定义可得 \(\sum_{d=1}{\frac{n}{x}}\mu(d)\mu(x)[(x,d)=1]\)

所以总式子为\(S(n,k)=\sum_{x|k}\mu(x)^2 S(\frac{n}{x},d)\)

所以这个S函数可以递归的算出来 我们利用map存起来来加快速度 对于mu(x)==0的可以不算。

显然递归边界为x==1 这个时候观察原式 其实式求\(\mu(x)\)的前缀和。

所以我们杜教筛一下。这样就可以求了。注意求S的时候也要开map来加速 还需要判断一下边界什么的。

复杂度？关于S的求出我并不会 分析复杂度。

const int MAXN=5000010,maxn=2010;
int n,m,k,top,maxx=5000000;
int mu[MAXN],p[MAXN],v[MAXN],g[maxn],w[MAXN];
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
map<int,int>H;map<pii,ll>s;
inline void prepare()
{
	rep(1,k,i){g[i]+=g[i-1];if(gcd(i,k)==1)++g[i];}
	mu[1]=1;
	rep(2,maxx,i)
	{
		if(!v[i])
		{
			p[++top]=v[i]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		rep(1,top,j)
		{
			if(maxx/i<p[j])break;
			v[i*p[j]]=p[j];
			if(v[i]==p[j])break;
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	rep(1,maxx,i)w[i]+=w[i-1]+mu[i];
}
inline int djs(int x)
{
	if(x<=maxx)return w[x];
	if(H.find(x)!=H.end())return H[x];
	int ans=1;
	int w,ww;
	for(int i=2;i<=x;i=ww+1)
	{
		w=x/i;ww=x/w;
		ans-=(ww-i+1)*djs(w);
	}
	H[x]=ans;return ans;
}
inline ll S(int n,int k)
{
	if(k==1)return djs(n);
	if(n==1)return 1;
	if(!n)return 0;
	if(s.find(mk(n,k))!=s.end())return s[mk(n,k)];
	ll ans=0;
	for(int i=1;i*i<=k;++i)
	{
		if(k%i==0)
		{
			if(mu[i])ans=ans+S(n/i,i);
			if(mu[k/i]&&i*i!=k)ans=ans+S(n/(k/i),k/i);
		}
	}
	s[mk(n,k)]=ans;
	return ans;
}
inline ll G(ll x){return x/k*g[k]+g[x%k];}
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);get(m);get(k);
	prepare();
	int w1,w2,ww;
	ll ans=0;
	int cc=min(n,m);
	for(RE int i=1;i<=cc;i=ww+1)
	{
		w1=n/i;w2=m/i;
		ww=min(n/w1,m/w2);
		ans=ans+w1*(S(ww,k)-S(i-1,k))*G(w2);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}