AcWing 204. 表达整数的奇怪方式 / Strange Way To Express Integers

我作为一个初中蒟蒻，听y大视频听了5遍还不懂，快哭了。然后终于（好像）搞懂，写成题解加深一下记忆...

将式子等价转换

对于每两个式子（我们考虑将其合并）：

\(x \equiv a_1 \%\ m_1\)

\(x \equiv a_2 \%\ m_2\)

则有：

\(x = k_1 * a_1 + m_1\)

\(x = k_2 * a_2 + m_2\)

进一步：

\(k_1 * a_1 + m_1 = k_2 * a_2 + m_2\)

移项：

\(k_1 * a_1 - k_2 * a_2 = m_2 - m_1\)

也就是：

① \(k_1 * a_1 + k_2 * (-a_2) = m_2 - m_1\)

也就是我们需要找到一个最小的\(k_1, k_2\)，使得等式成立（因为要求\(x\)最小，而\(a\)和\(m\)都是正数）。

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用扩展欧几里得算法找出一组解

我们已知\(a_1,m_1,a_2,m_2\)，可以用扩展欧几里得算法算出一个\(k'_1, k'_2\)使得：

\(k'_1 * a_1 + k'_2 * (-a_2) = gcd(a_1, -a_2)\)

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无解判断：

若\(gcd(a_1, -a_2) \nmid m_2 - m_1\)，则无解。

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我们设\(d = gcd(a_1, -a_2),y = \frac{(m_2 - m_1)}{d}\)

承接上文，我们只需让\(k_1, k_2\)分别扩大\(y\)倍，则可以找到一个\(k_1, k_2\)满足①式：

\(k_1 = k'_1 * y, k_2 = k'_2 * y\)

找到最小正整数解

我们知道一个性质：

②\(k_1 = k_1 + k *\frac{a_2}{d}\)

\(k_2 = k_2 + k *\frac{a_1}{d}\)

\(k\)为任意整数，这时新的\(k_1, k_2\)仍满足①式。

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证明：

将新的\(k_1, k_2\)带入式子得:

\((k_1+k*\frac{a_2}{d})*a_1+(k_2+k*\frac{a_1}{d})*(-a_2)=m_2-m_1\)

拆出来：

\(k_1*a_1+k*\frac{a_2*a_1}{d}+k_2*(-a_2)+k*\frac{a_1*(-a_2)}{d}=m_2-m_1\)

交换一下顺序，把负号拆出来：

\(k_1*a_1+k_2*(-a_2)+k*\frac{a_2 * a_1}{d}-k*\frac{a_1 * a_2}{d}=m_2-m_1\)

那个同加同减可以消掉：

\(k_1*a_1+k_2*(-a_2)=m_2-m_1\)

这个式子和①是一样的，因①成立，故此式也成立。

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要找一个最小的非负整数解，我们只需要让

\(k_1 = k_1 \%\ abs(\frac{a_2}{d})\)

\(k_2 = k_2 \%\ abs(\frac{a_1}{d})\)

即可找到当前最小的\(k_1, k_2\)的解，即此时的\(k\)为\(0\)。

\(Q\)：此处为什么要取绝对值呢

\(A\)：因为不知道\(\frac{a_2}{d}\)的正负性，我们在原基础上要尽量减多个\(abs(\frac{a_2}{d})\)，使其为正整数且最小。

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等效替代：

由②式带入

新的\(x\)为：

\(x = (k_1 + k * \frac{a_2}{d}) * a_1 + m_1\)

\(= k_1 * a_1 + m_1 + k * \frac{a_2 * a_1}{d}\)

\(= k_1 * a_1 + m_1 + k * lcm(a_1, a_2)\) ③

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\(Q\):这里，\(k\)都为\(0\)了，为什么还要算呢？

\(A\):因为这只是前两个式子得最小\(k\)，有可能遇到下一个式子后面被迫要扩大

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在③中，我们设\(a_0 = lcm(a_1, a_2), m_0 = k_1 * a_1 + m_1\)

那么：

③ $ = k * a_0 + m_0$

这个形式与一开始我们分解的形式是不是特别像呢？

没错！假设之后又来了一个\(a_3, m_3\)

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我们只需要继续找：

\(x = k * a_0 + m_0 = k_3 * (-a_3) + m_3\)，那么问题又回到了第一步。

总结

我们的做法相当于每次考虑合并两个式子，将这\(n\)个式子合并\(n - 1\)次后变为一个式子。最后剩下的式子就满足我们的答案。

注意：

1. \(lcm(a_1, a_2)\)和\(\% \frac{a_2}{d}\)，需要取绝对值。又因为\(d = gcd(a_1, -a_2)\)，我们不知道\(a_1\)的正负性（可能是上一步推过来的）。

2. \(\% \frac{a_2}{d}\)，需要取绝对值， 膜负数的话，不会取到正解；

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
LL inline mod(LL a, LL b){
    return ((a % b) + b) % b;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    LL a1, m1;
    scanf("%lld%lld", &a1, &m1);
    for(int i = 1; i < n; i++){
        LL a2, m2, k1, k2;
        scanf("%lld%lld", &a2, &m2);
        LL d = exgcd(a1, -a2, k1, k2);
        if((m2 - m1) % d){ puts("-1"); return 0; }
        k1 = mod(k1 * (m2 - m1) / d, abs(a2 / d));
        m1 = k1 * a1 + m1;
        a1 = abs(a1 / d * a2);
    }
    printf("%lld\n", m1);
    return 0;
}