三维网格补洞算法(Radial Basis Function)
在逆向工程中,由于设备或模型的原因,我们获取得到的三维模型数据往往并不完整,从而使得生成的网格模型存在孔洞,这对后续的模型分析会造成影响。下面介绍一种基于径向基函数(RBF:Radial Basis Function)的三角网格补洞方法。
Step 1:检测孔洞边界
三角网格是由一系列顶点(V)以及由这些顶点所构成的三角面片(F)所组成,由三角面片可以得到网格的边(E)。通常一条边连接两个三角面片,这种边称为网格内部边,而如果某条边仅连接一个三角面片,那么称这条边为网格边界边,所有的边界边按顺序连接之后就形成了网格的孔洞。
Step 2:初始化网格
为了使孔洞填充简单、健壮,可以采用最小角度法进行网格修补,具体步骤如下:
(1)得到孔洞边界点信息,计算边界边长度的平均值l。
(2)计算每个边界点的两条相邻边的夹角大小。
(3)找出具有最小夹角的边界点,计算它的两个相邻边界点的距离s,判断s < 2×l是否成立:若成立,则按下图所示增加一个三角形,若不成立则增加两个三角形。
(4)更新边界点信息。
(5)判断孔洞是否修补完整,若未完整,转(2),否则结束。
Step 3:最小二乘网格
初始化补洞得到的网格质量不是很好,我们需要优化网格顶点的位置,优化的条件是:
其中di为顶点vi的1环邻域顶点数。
上式可以用一个线性方程组来描述:LV = 0,其中L是Laplace矩阵,具体形式为,矩阵L的秩等于n – k,n为网格顶点的数目,k为网格连通区域的个数,如果网格是全连通的,那么矩阵L的秩是n – 1。因此如果我们要使方程有解,需要加入m(m ≥ k)个控制顶点坐标vs作为方程的边界条件,在实际中我们将初始化网格的边界顶点作为控制顶点。
其实上述线性方程组的求解等价于如下能量函数最小化的求解:
能量函数的第一部分是使得网格顶点尽量光滑,即每个顶点位于其1环邻域顶点的中心,第二部分是为了控制顶点的位置满足要求。
最小二乘网格的优势是能够生成高质量的光滑网格,生成过程仅需要网格的拓扑连接关系和少数控制点的坐标信息。
Step 4:径向基函数(RBF)隐式曲面
径向基函数是一个仅依赖于离控制点c距离的函数,即h(x,c) = h(||x - c||),距离通常是欧式距离,也可以是其他形式距离。径向基函数网络是一个三层BP网络,其可以表示为多个基函数的线性组合:
下面列出2个最常用的基函数形式:
(1)Gaussian:h(r) = e-(εr)2
(2)Polyharmonic spline:h(r) = rk,k = 1、3、5、… 或h(r) = rkln(r),k = 2、4、6、…
利用径向基函数网络并通过给定控制点xi和对应的值fi之后,可以求解得到网络中的系数λi,因此径向基函数网络能够解决空间散乱数据点的平滑插值问题,函数的零等值面就是我们要求的曲面。
在实际求解时函数f(x)表达式中通常会增加一个一次多项式P(x),如下:
,其中:
将控制点位置xi和值fi代入函数f(x)可以得到如下方程,求解之后即可确定隐式曲面f(x)。
控制点xi可分为三类:
(1)边界控制点:曲面通过的点,f(xi) = 0
(2)外部控制点:将边界控制点沿法向正方向移动一小段距离而得到的控制点,取f(xi) = -1
(3)内部控制点:将边界控制点沿法向负方向移动一小段距离而得到的控制点,取f(xi) = 1
计算时我们选择的基函数为h(r) = r3,其实此时隐式曲面函数满足Δ3f = 0,将基函数代入后得到隐式曲面的表达式如下:
function options = RBF_Create(x, y, type)
% x: input data; y: input data value
options = [];
options.nodes = x;
switch type
case 'linear'
options.phi = @rbfphi_linear;
case 'cubic'
options.phi = @rbfphi_cubic;
end [n, dim] = size(x);
A = zeros(n,n);
for i = :n
r = normrow(bsxfun(@minus, x(i,:), x));
temp = feval(options.phi, r);
A(i,:) = temp';
A(:,i) = temp;
end
% Polynomial part
P = [ones(n,) x];
A = [ A P
P' zeros(dim+1, dim+1)];
B = [y; zeros(dim+, )]; coeff = A\B;
options.coeff = coeff;
end % Radial Base Functions
function u = rbfphi_linear(r)
u = r;
end
function u = rbfphi_cubic(r)
u = r.*r.*r;
end
Step 5:牛顿插值
为了得到插值隐式曲面的网格,我们需要把最小二乘网格的顶点投射到隐式曲面上,这里我们采用牛顿迭代法:
最小二乘网格的顶点位置作为迭代初始条件,当||xk+1 – xk|| < ε时,迭代停止,ε为设定的误差。上式中梯度表达式如下:
效果:
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参考文献:
[1] Olga Sorkine and Daniel Cohen-Or. 2004. Least-Squares Meshes. In Proceedings of the Shape Modeling International 2004 (SMI '04). IEEE Computer Society, Washington, DC, USA, 191-199.
[2] Greg Turk and James F. O'Brien. 1999. Shape transformation using variational implicit functions. In Proceedings of the 26th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (SIGGRAPH '99). ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., New York, NY, USA, 335-342.
[3] 袁天然. 三角网格模型光顺简化和缝补技术的研究及应用[D]. 南京航空航天大学, 2007.
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