[难题题解] [BZOJ1875] [SDOI2009] HH去散步

题目H有个一成不变的习惯，喜欢饭后百步走。所谓百步走，就是散步，就是在一定的时间 内，走过一定的距离。 但是同时HH又是个喜欢变化的人，所以他不会立刻沿着刚刚走来的路走回。 又因为HH是个喜欢变化的人，所以他每天走过的路径都不完全一样，他想知道他究竟有多 少种散步的方法。 现在给你学校的地图（假设每条路的长度都是一样的都是1），问长度为t，从给定地 点A走到给定地点B共有多少条符合条件的路径.

对于100%的数据，$N ≤ 20，M ≤ 60，t ≤ 2^{30}，0 ≤ A,B $

题解

既然n<=20，考虑开个邻接矩阵$table$存图

先考虑暴力，设$dp[i][j]$表示还需走i段路,当前走到了j这个点

易得$dp[i][j]=sum(dp[i+1][k]*table[j][k])+1$

然后无脑dfs即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
int table[21][21],dp[21][11],n,a,b;
void dfs(int id,int from,int t)
{
    //if(dp[id][from]) return;
    if(!t)
    {
        dp[id][t]+=(id==b);
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(!table[id][i]||from==i) continue;
        dfs(i,id,t-1);
        dp[id][t]+=table[id][i]*dp[i][t-1];
        dp[id][t]%=45989;
    }
}
int main()
{
    int m,t;
    cin>>n>>m>>t>>a>>b;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        table[a][b]=++table[b][a];
    }
    dfs(a,0,t);
    cout<<dp[b][0];

}

发现i这一维可以滚动掉，然后我们发现这个方程的转移是固定不变
即，对于同一个j，都是同一批k来更新它。

那么，我们可以先处理一个另一个邻接矩阵$table2[k][i][j]$表示i在走了k步后到达j的方案书.

回忆floyd的过程，我们可以用类似的方法不断用$table2[k-1][i][j]$计算出新的$table2[k][i][j]$

然后发现其实这就是矩阵乘法，于是这个过程可以用矩阵快速幂来加速。

这其实是一个很常见的图论dp trick,当然，这个是要在点数小到可以用邻接矩阵时才能用的

void mulit(int arr1[][130],int arr2[][130],int size)
{
	memset(temp,0,sizeof(temp));
	for(int i=1;i<=size;i++)
	{
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			for(int k=1;k<=cnt;k++)
			{
				temp[i][j]+=arr1[i][k]*arr2[k][j]%mod;
				temp[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	memcpy(arr1,temp,sizeof(temp));
}
void qpow(int t)
{
	for(int i=1;i<=cnt;i++) res[i][i]=1;
	while(t)
	{
		if(t&1) mulit(res,table2,cnt);
		mulit(table2,table2,cnt);
		t>>=1;
	}
}

然而题目要求我们不能立刻走回头路，处理起来比较麻烦

所以我们把边当成点，把相连的边“连接”

另外，为了区分出边的方向，我们把每条边拆成两条（分别两个方向）

然后按照上述的方法处理出$table2[t][i][j]$

最后枚举一遍从起点发出的边，统计这些边到达终点的方案数，输出即可

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int table2[130][130],n,a,b,cnt,from[130],to[130],head[130],nxt[130];
int res[130][130];
#define connect(a,b) table2[a][b]=1
#define mod 45989
int temp[130][130];
void mulit(int arr1[][130],int arr2[][130],int size)
{
	memset(temp,0,sizeof(temp));
	for(int i=1;i<=size;i++)
	{
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			for(int k=1;k<=cnt;k++)
			{
				temp[i][j]+=arr1[i][k]*arr2[k][j]%mod;
				temp[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	memcpy(arr1,temp,sizeof(temp));
}
void qpow(int t)
{
	for(int i=1;i<=cnt;i++) res[i][i]=1;
	while(t)
	{
		if(t&1) mulit(res,table2,cnt);
		mulit(table2,table2,cnt);
		t>>=1;
	}
}
void link(int x,int y)
{
	from[++cnt]=x,to[cnt]=y;
	nxt[cnt]=head[x];
	head[x]=cnt;
}
int main()
{
	int m,t;
	cin>>n>>m>>t>>a>>b;
	a++,b++;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		x++,y++;
		link(x,y);
		link(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if(((i&1)&&j==i+1)||((i&1)==0&&j==i-1)) continue;
			if(to[i]==from[j]) connect(i,j);
			//if(from[i]==to[j]) connect(j,i);

		}
	}
	/*for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		for(int j=1;j<=cnt;j++) cout<<table2[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}*/
	qpow(t-1);
	int ans=0;
	for(int l=head[a];l;l=nxt[l])
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
			if(to[i]==b) ans+=res[l][i],ans%=mod;
	cout<<ans;
}