最短路径（dijkstra 与 Floyd）

目录

• 1. 如何建图？
• 2. Floyd
• 3. Dijkstra

1. 如何建图？

要跑最短路，首先要有图 ——鲁迅

常用的存储方法有两种，分别是邻接矩阵（用二维数组表示边）和邻接表（模拟链表表示边）两种，他们各有不同的优势和不足：

	邻接矩阵	邻接表
使用范围	稠密图	主要是稀疏图
空间耗费	n^2（n节点数）	理论上是 e（ e为边条数）
实现方式	二维数组	存储每个节点相连的节点和边权值

通常来讲，在数据范围足够小时，我们采用邻接矩阵，而数据范围大时采用邻接表

邻接矩阵实现：

无权图：

g[x][y]=1 #g[x][y]=1表示x到y有一条边连接
#g[y][x]=1 #去掉注释后是无向图

带权图：

g[x][y]=w #g[x][y]=w表示x到y有一条权值为w的边
#g[y][x]=w #去掉注释后是无向图

2. Floyd

多源最短路算法，用邻接矩阵存储，可以处理负边权，但不能处理负环

多源最短路就是说只要跑一次，任意两点的最短路都能求啦(￣︶￣)，而其他单源最短路跑一次只能得出一个点到其他点的最短路

用邻接矩阵存最短路（ dis[i][j]表示 i到j的最短距离）开一个三重循环（！）

外层枚举中间点，中间枚举起点，内层枚举终点，当三个点互不相同时进行松弛操作，如果经过中间点之后的路程和比原路程短，就更新距离，一轮过后，我们得到了一个新的矩阵，然后我们把中间点换成下一个点，再次松弛，的到一个新的矩阵，执行 n 次之后，第 n个矩阵就是我们的答案啦

#提前将邻接矩阵存在dis数组里，其他不连通的地方初始化成无穷大
for k in range(n): #枚举中间点
    for i in range(n): #枚举起点
        if(i!=k): #节省时间，如果一样就不往下走
            for j in range(n): #枚举终点
                if(i!=j and j!=k): #继续判断，如果有一样的就不往下走
                    dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j])

3. Dijkstra

单源最短路径

将所有节点分成两类：已确定从起点到当前点的最短路长度的节点，以及未确定从起点到当前点的最短路长度的节点（下面简称「未确定节点」和「已确定节点」）。

每次从「未确定节点」中取一个与起点距离最短的点，将它归类为「已确定节点」，并用它「更新」从起点到其他所有「未确定节点」的距离。直到所有点都被归类为「已确定节点」。

用节点 A「更新」节点 B 的意思是，用起点到节点 A 的最短路长度加上从节点 A 到节点 B 的边的长度，去比较起点到节点 B 的最短路长度，如果前者小于后者，就用前者更新后者。这种操作也被叫做「松弛」。

这里暗含的信息是：每次选择「未确定节点」时，起点到它的最短路径的长度可以被确定。

​ ——力扣（LeetCode）

def dijkstra(u):
    #初始化起点 u 到每一个点的距离
    for k in range(n):
        dis[k] = g[u][k]

    print("起点到其他节点的初始距离：",dis)

    used[u] = 1
    for k in range(n):
        minv = float('inf')
        #在未确定节点中找与起点距离最短的
        for i in range(n):
            if not used[i] and dis[i] < minv:
                minv = dis[i]
                temp = i

        #中转位置, 变为已确定节点，更新距离
        used[temp] = 1
        for i in range(n):
            if g[temp][i]+dis[temp] < dis[i]:
                dis[i] = g[temp][i]+dis[temp]

        print("第 {} 次迭代，起点到其他节点的距离：{}".format(k,dis))

测试下

with open("path.txt",'r') as f:
    n = int(f.readline())
    weights = f.readlines()

print("顶点数：",n)

dis = [0]*n
used = [0]*n

# 定义邻接矩阵存储图
g = [[0]*n for _ in range(n)]
for u in range(n):
    for v in range(n):
        g[u][v] = int(weights[u].strip().split()[v])

print("邻接矩阵：",g)
# g[u][v] = g[v][u] = w  # 创建图，节点间没有连接赋值为 无穷大

dijkstra(0)

执行结果：

起点到其他节点的初始距离： [65535, 33, 21, 26, 65535, 65535, 65535, 65535]
第 0 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 65535, 42, 65535, 65535]
第 1 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 96, 117]
第 2 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 96, 117]
第 3 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 4 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 5 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 6 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 7 次迭代，起点到其他节点的距离：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]

附上数据

8
65535 33 21 26 65535 65535 65535 65535 65535
33 0 65535 27 30 65535 65535 65535 65535
21 65535 0 22 65535 21 65535 65535 65535
26 27 22 019 36 33 70 91
65535 30 65535 190 65535 41 64 80
65535 65535 21 36 65535 0 29 65535 65535
65535 65535 65535 33 41 290 22 65535
65535 65535 65535 70 64 65535 22 0 42

references:

https://www.cnblogs.com/Staceyacm/p/10782094.html

https://www.luogu.com.cn/blog/FrozaFerrari/xue-tu-lun-ni-zhen-di-liao-xie-zui-duan-lu-ma-post

https://www.bilibili.com/video/BV1q4411M7r9/?spm_id_from=333.788.videocard.1