P2424 约数和 【整除分块】

一、题目

　　P2424 约数和

二、分析

　　因为都是加法，那么肯定有的一个性质，即前缀和的思想，就是$$ { ans =\sum_{i=1}^y f(i)} - {\sum_{i=1}^x f(i)}  $$

　　基于上面的性质，分析$ \sum_{i=1}^x f(i) $，因为每个数都是因子之和，那么$1 \to n $ 中一共也就 $n$个因子，其实就将问题转化到了求每个因子的贡献上面。

　　考虑每个因子最终加  $ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $ 次，所以最终$$ { ans = \sum_{i=1}^y i \lfloor \frac{y}{i} \rfloor} - {\sum_{i=1}^x i \lfloor \frac{x}{i} \rfloor}  $$

　　然后结合整除分块求解即可。

三、AC代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5
 6 ll solve(ll n)
 7 {
 8     ll ans = 0;
 9     ll L, R;
10     for(L = 1; L <= n; L = R + 1)
11     {
12         ll res = n/L;
13         if(res)
14         {
15             R = n/res;
16         }
17         else
18             R = n;
19         ans += res * (R - L + 1) * (R + L) / 2;
20     }
21     return ans;
22 }
23
24 int main()
25 {
26     //freopen("input.txt", "r", stdin);
27     ll x, y;
28     while(scanf("%lld%lld", &x, &y) != EOF)
29     {
30         printf("%lld\n", solve(y) - solve(x - 1));
31     }
32     return 0;
33 }