BZOJ4584 & 洛谷3643 & UOJ204：[APIO2016]划艇——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4584

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3643

http://uoj.ac/problem/204

在首尔城中，汉江横贯东西。在汉江的北岸，从西向东星星点点地分布着个划艇学校，编号依次为到。每个学校都拥有若干艘划艇。同一所学校的所有划艇颜色相同，不同的学校的划艇颜色互不相同。颜色相同的划艇被认为是一样的。每个学校可以选择派出一些划艇参加节日的庆典，也可以选择不派出任何划艇参加。如果编号为的学校选择派出划艇参加庆典，那么，派出的划艇数量可以在Ai至Bi之间任意选择（Ai<=Bi）。

 

值得注意的是，编号为i的学校如果选择派出划艇参加庆典，那么它派出的划艇数量必须大于任意一所编号小于它的学校派出的划艇数量。

 

输入所有学校的Ai、Bi的值，求出参加庆典的划艇有多少种可能的情况，必须有至少一艘划艇参加庆典。两种情况不同当且仅当有参加庆典的某种颜色的划艇数量不同

dp神题，方程很难想……

（一瞬间我以为我已经傻到无可救药了直到我看了题解发现的确很难很神……）

参考1：https://www.luogu.org/blog/bestFy0731/solution-p3643

参考2：https://blog.csdn.net/wxh010910/article/details/54177511

参考3：http://45.76.49.80:8000/f/7bd0386ed1b24b8bb390/

看完这三个人还没看懂的话那接下来看我的理解吧。

不难想到对a和b离散化，并且令f[i][j]表示前i个学校，第i个学校必须取且第i个学校的划艇数量在j段区间内。

然后就有一个问题了，这样的话肯定会有几个学校的划艇数量区间重合，这时如何统计个数。

那么根据参考2的思路，考虑另一个问题：给m个长度为len的区间，选k个区间的方案数个数。

显然地为C(m,k)*C(len,k)。

对1~m的k求和即为sigma(C(m,m-k)*C(len,k))=C(m+len,m)。

现在我们就能求出当有m个学校在同一个数量段时的方案数了。

根据参考3，我们可以列出以下的式子：

令k+1~i中可以取j段的划艇数量的学校个数为m，且k+1~i的学校要么取0要么取j段，则：

f[i][j]=sigma(f[k][l]*C(m+len[j],m))(k<i,l<j)

（PS：k+1~i的学校取别的段（比如x）的情况早就被f[i][x]考虑过了。）

但是特殊的，当m=0时，C(m+len[j],m)=len[j]。

完后前缀和优化即可。

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p=1e9+;
const int N=;
inline int read(){
    int X=,w=;char ch=;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<)+(X<<)+(ch^),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
int n,m,a[N],b[N],c[N*];
int s[N],inv[N],C[N];
inline void LSH(){
    sort(c+,c+m+);
    m=unique(c+,c+m+)-c-;
    for(int i=;i<=n;i++){
    a[i]=lower_bound(c+,c+m+,a[i])-c;
    b[i]=lower_bound(c+,c+m+,b[i]+)-c;
    }
}
inline void init(){
    inv[]=;
    for(int i=;i<=n;i++)inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}
int main(){
    n=read();init();
    for(int i=;i<=n;i++){
    a[i]=read(),b[i]=read();
    c[++m]=a[i];c[++m]=b[i]+;
    }
    LSH();
    s[]=;C[]=;
    for(int i=;i<m;i++){
    int len=c[i+]-c[i];
    for(int j=;j<=n;j++)C[j]=(ll)C[j-]*(len+j-)%p*inv[j]%p;
    for(int j=n;j>=;j--){
        if(a[j]<=i&&i+<=b[j]){
        int f=,mul=len,cnt=;
        for(int k=j-;k>=;k--){
            (f+=(ll)s[k]*mul%p)%=p;
            if(a[k]<=i&&i+<=b[k])mul=C[++cnt];
        }
        (s[j]+=f)%=p;
        }
    }
    }
    int ans=;
    for(int i=;i<=n;i++)(ans+=s[i])%=p;
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}

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