[bzoj3244][noi2013]树的计数 题解

UPD: 那位神牛的题解更新了，在这里。

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被这题虐了好久……本来是看这个题解，然后晕乎乎的，没怎么看懂……然后YGW巨神质疑那个程序，于是就举出了一个反例……(rzO  Orz)。于是本蒟蒻就顺着那个题解的思路和YGW的反例弄出了一种奇葩的方法……

我们在BFS序上分割，分出每一层。这样一种分割方案对应一种树的形态。

其实，分割方案会有不同，原因在于存在某些点，他们既可以做与他相邻的点的儿子，也可以做兄弟。那么他们对ans的贡献是0.5。而那些只能做儿子的点就只能被分配到下一层，所以对ans的贡献是1.0；其它的点对分层方案没有影响，对ans就没有贡献。于是关键在于如何找到这些点。

我们把BFS序编为1..n，以此重标号DFS序。

我们从1到n遍历BFS序，根据dfs序一个一个判断。

• 考虑那些既可以做兄弟也可以做儿子的点。

这些点必须满足既可以做兄弟也可以做儿子（废话- -）。

可以发现，那些点刚好在BFS和DFS序都是连续的。但是这还不够。我们还必须满足这个点可以分配到下一层（因为如果可以被分配到下一层就可以做兄弟）。于是考虑两个情况：

　　1.下一层有一个点的BFS序>当前点。

　　2.当前层有一个点的BFS序>当前点，且这个点必须在当前层。（注：有一种情况存在一个点的BFS序>当前点，但是不一定要在当前层，这种情况不影响当前点的分配方案。）

这两个情况下当前点都只能被分配到当前层。

　　第一种等价于dfs序<当前点的点中存在一个bfs序>当前点的点。（可以用前缀最值判断）

　　第二种等价于在dfs序中这个点的到前一个点之间有一个bfs序<当前点，这相当于限制了当前点与前一个点不是同一个点的儿子。（可以用线段树判断，否则要n^2，完全可以构造数据卡掉，如bfs:1 2 3 4 5 6 7 8 ... dfs:1 3 5 7 ... 2 4 6 8 ...）

　　当排除了上面两种情况后，当前点就可以放到下面去。且把当前点放到下面去对后面所有的点的分配是没有影响的，这样保证了正确性。

• 考虑那些只能做儿子的点。

这种情况只出现在当前点的dfs序<上一个点的dfs序。

最后贴一下卡掉那个代码的数据和我的代码

9

1 2 4 5 6 7 9 8 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

/**************************************************************
    Problem: 3244
    User: lazycal
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:292 ms
    Memory:7056 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N = 200000 + 9;
int Max[N],Min[N*4],rk[N],dfs[N],bfs[N],n;
void build(const int idx,const int l,const int r)
{
    if (l == r) return (void)(Min[idx] = dfs[l]);
    build(idx * 2,l,(l+r)/2);
    build(idx*2+1,(l+r)/2+1,r);
    Min[idx] = std::min(Min[idx*2],Min[idx*2+1]);
}
int MIN(const int idx,const int l,const int r,const int L,const int R)
{
    if (L <= l && r <= R) return Min[idx];
    int mid = (l + r)/2,res = 0x7fffffff;
    if (L <= mid) res = std::min(res,MIN(idx * 2,l,mid,L,R));
    if (mid < R) res = std::min(res,MIN(idx*2+1,mid+1,r,L,R));
    return res;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("3244.in","r",stdin);
    freopen("3244.out","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d",dfs + i);
        rk[dfs[i]] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d",bfs + i);
        dfs[rk[bfs[i]]] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        Max[i] = std::max(Max[i - 1],dfs[i]);
        rk[dfs[i]] = i;
    }
    build(1,1,n);
    int ans = 2,tmp = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (i == 1 || rk[i + 1] < rk[i]) ans += tmp + 2,tmp = 0;
        else if (rk[i] + 1 == rk[i + 1] && Max[rk[i]] < i + 1) ++tmp;
        else if (MIN(1,1,n,rk[i] + 1,rk[i + 1] - 1) < i) tmp = 0;
    }
    ans += tmp;
    printf("%.3f\n%.3f\n%.3f\n",ans/2.0-0.001,ans/2.0,ans/2.0+0.001);
}