JZOJ.5236【NOIP2017模拟8.7】利普希茨
Description
Input
第一行一个整数n。
接下来一行n个整数,描述序列A。
第三行一个数q 。
接下来q行,每行三个整数。其中第一个整数type表示操作的类型。 type=0对应修改操作, type=1对应查询操作。
Output
对于每个查询,给出f(A[l..r]) 。
Sample Input
输入1:
6
90 50 78 0 96 20
6
0 1 35
1 1 4
0 1 67
0 4 11
0 3 96
1 3 5 输入2:
50
544 944 200 704 400 150 8 964 666 596 850 608 452 103 988 760 370 723 350 862 856 0 724 544 668 891 575 448 16 613 952 745 990 459 740 960 752 194 335 575 525 12 618 80 618 224 240 600 562 283
10
1 6 6
1 1 3
0 11 78279
0 33 42738
0 45 67270
1 1 26
1 19 24
1 37 39
1 8 13
0 7 64428
Sample Output
输出1:
78
85 输出2:
0
744
77683
856
558
77683
Data Constraint
对于60%的数据,n,q<=5000
对于100%的数据,n,q<=100000,0<=ai,val<=10^9
这里有一个结论:f(A)的最大值是相邻的两点的差值。
我们可以设想一下,一个区间被里面min和max分成了三段,其中i=min,j=max,那么设对应的f(A)的值为a,
那么我们可以枚举里面的左端点i右端点j来计算f(A)的值与a比较
首先很肯定的一点 区间[i,j]不能跨过min和max,那么我们会对这三段区间不断细分,到最后也就只剩下相邻的两个点了,此时就是最大值和最小值(这个似乎不能证明)
还有个几何证明:f(A)可以看成一个斜率的绝对值,那么对于坐标上的三个点a,b,c来说,它们三点确定的直线中,很显然横坐标越靠近的两个点斜率会越大

(转自mcw的证明)令$\Delta_i=A_{i+1}-A_i$,则$\left\lceil\frac{|A_j-A_i|}{j-i}\right\rceil=\left\lceil\frac{|\sum_{k=i}^{j-1}\Delta_k|}{j-i}\right\rceil=\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$,显然会有$\Delta_i\,..\,\Delta_{j-1}$中的一项大于等于$\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$
所以这题就变成了维护差值的修改和最值了,线段树就可以了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
int maxx[],n,q,a[],x,l,r,d[];
void buildtree(int root,int l,int r){
if (l==r) {maxx[root]=d[l]; return;}
int mid=(l+r)>>;
buildtree(root<<,l,mid);
buildtree(root<<|,mid+,r);
maxx[root]=max(abs(maxx[root<<]),abs(maxx[root<<|]));
}
void change(int root,int l,int r,int x,int c){
if (l==r){
maxx[root]+=c;
return;
}
int mid=(l+r)>>;
if (x<=mid) change(root<<,l,mid,x,c);
if (x>mid) change(root<<|,mid+,r,x,c);
maxx[root]=max(abs(maxx[root<<]),abs(maxx[root<<|]));
}
int get(int root,int l,int r,int x,int y){
if ((x<=l)&&(y>=r)) return abs(maxx[root]);
int ans=;
int mid=(l+r)>>;
if (x<=mid) ans=max(ans,get(root<<,l,mid,x,y));
if (y>mid) ans=max(ans,get(root<<|,mid+,r,x,y));
return ans;
}
int main(){
freopen("lipschitz.in","r",stdin);
freopen("lipschitz.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
d[i]=a[i]-a[i-];
}
buildtree(,,n);
scanf("%d",&q);
while (q--){
scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);
if (x==) {change(,,n,l,r-a[l]);change(,,n,l+,-r+a[l]); a[l]=r;}
if (x==) printf("%d\n",get(,,n,l+,r));
}
return ;
}
神奇的代码
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