题解P3847 [TJOI2007]调整队形

简要题意

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，你需要执行下面的操作，将这个序列变成回文序列：

• 在序列左右侧或中间插入一个元素，元素数值任意。
• 删除一个元素。
• 更改一个元素的值。

\(1 \le n,A_i \le 3000\)

思路

区间DP好题！

首先我们设 \(f_{i,j}\) 为区间 \([i,j]\) 变成回文序列的操作次数。

如果每一次转移的时候都重新计算，那肯定是不合适的，这里我们做一个假设，假设如果枚举到了 \([i,j]\)，那么 \([x,y]\) \((i \lt x \le y \lt j)\)（子区间）已经变成了回文序列了。

那么如果 \(A_i=A_j\)，那么不必进行操作，也就是 \(f_{i,j}=f_{i+1,j-1}\)。(区间 \([i,j]\) 去头去尾后得到 \([i+1,j-1]\)）

如果 \(A_i \neq A_j\)，那么我们一定需要操作：

• 如果是更改元素的值，那么一定要更改 \(i\) 或者 \(j\) 的，比如 \(A_i = A_j\) 或 \(A_j = A_i\)，这种情况就是继承以前的 \(f_{i+1,j-1}\)。
• 如果是删除元素的值，那么也一定要删除 \(i\) 或者 \(j\)。删除 \(i\) 就是 \(f_{i+1,j}\)，删除 \(j\) 就是 \(f_{i,j-1}\)（谁被删除了就删掉谁）

另外还要记住，执行了操作操作次数就要加上 \(1\)。

至此，我们已经推出了状态转移方程，整理如下：

\[f_{i,j}=\left\{
\begin{aligned}
& f_{i+1,j-1} (A_i = A_j) \\
& \min(f_{i+1,j-1},f_{i+1,j},f_{i,j-1})+1 (A_i \neq A_j)
\end{aligned}
\right.
\]

最后我们来讨论一下如何做到一开始我们的假设。我怕们可以枚举区间长度 \(L\)，再枚举区间左端点 \(i\)，这样 \(j=i+L-1\)，子区间的长度必定小于 \(L\)，假设得到满足。

该算法时间复杂度 \(O(n^{2})\)，可以通过本题。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n;
int a[3005],f[3005][3005];

inline int min(int x,int y,int z){
	return min(x,min(y,z));
}

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int length=2;length<=n;length++){
		for(int l=1,r=l+length-1;l<=n&&r<=n;l++,r++){
			if(a[l]==a[r]){
				f[l][r]=f[l+1][r-1];
			}
			else{
			    f[l][r]=min(f[l+1][r-1],f[l+1][r],f[l][r-1])+1;
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}

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