一个小 Trick

平方变两次

一个状态 \(S\) 有一个贡献，所有状态 \(S\) 组成集合 \(U\) .

然后我们要统计下面这个东西

\[ans=\sum_{S\in U}f^2(S)
\]

然后我们就可以看作是选两个 \(U\) 里的 \(S_1, S_2\)，然后 \(S_1=S_2\) 的方案数 .

这样就把一个带平方的贡献问题转化成一个简单的选择了 .

让我们看一个实例：

NOI2009 管道取珠

两个字符串 \(S,T\) .

整一个仅含 \(1, 2\) 的序列 \(\{a\}\)，用以下步骤生成一个字符串 \(U\)：

• 扫描序列 \(\{a\}\) .
• 目前扫到了 \(x\)：
  • 如果 \(x\) 是 \(1\)，从 \(S\) 的末尾拿一个字符放到 \(U\) 的开头，然后把 \(S\) 末尾那个字符删了 .
  • 如果 \(x\) 是 \(2\)，从 \(T\) 的末尾拿一个字符放到 \(U\) 的开头，然后把 \(T\) 末尾那个字符删了 .

然后最后 \(S,T\) 都删没了得到的 \(U\) 就是生成出来的字符串 .

所有只有 \(n\) 个 \(1\)，\(m\) 个 \(2\) 的序列是合法的 .

令 \(f(X)\) 为序列 \(X\) 能被多少给合法序列生成 .

求

\[\sum_X f^2(X)
\]

对 \(1024523\) 取模 .

\(1\le n,m\le 500\) .

题解：

平方变两次，于是变成生成两次生成了相同的串的方案数 .

直接大力普及组 DP，令 \(dp_{i,j,k,l}\) 表示第一次 \(S\) 取 \(i\) 个，\(T\) 取 \(j\) 个；第一次 \(S\) 取 \(k\) 个，\(T\) 取 \(l\) 个的答案 .

然后轻松转移把 .

显然 \(i+j=k+l\)，于是可以滚掉一维度 .

于是这道题就被 \(O(n^2m)\) 解决了 .

一些类似的题目：

• BJOI2017 机动训练
• UOJ #667 提问系统（需要把原 Trick 推广到单项式）
• AGC013E Placing Squares