通过 HDU 2048 来初步理解动态规划

HDU 2048 数塔

问题描述：

给出一个数塔，要求从顶层走到底层，每一步只能从高层走到相邻的低层节点，求经过的结点的数字之和最大是多少？

动态规划的定义

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.

动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题得以递推（或者说分治）的方式去解决。

对于动态规划，大家可能会产生一些误解，将重点放在如何递推的求解问题，但如何拆分问题，才是动态规划的核心。而拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移方程的定义。

1、状态的定义

首先，我们假设使用一个二维数组dp来表示这个数塔，类似这样：

7 0 0 0 0

3 8 0 0 0

8 1 0 0 0

2 7 4 4 0

4 5 2 6 5

数组中数塔之外的地方我们将数值填充为0，其中$dp[0][0]$表示数塔最顶部，$dp[1][0]$和$dp[1][1]$分别表示$dp[0][0]$下一层的左右两个相邻结点。

状态定义之前，我们首先需要进行问题的定义和子问题的定义

有人可能会问了，题目都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字面上看，找不出子问题，而没有子问题，这个题目就没办法解决。

所以我们来重新定义这个问题：

给定一个 $I * J$ 大小的二维数组 $dp$
设 $F_{i,j} (i<I,j<J)$ 为$dp[i][j]$ 结点到达底部所经过结点的最大数字之和
求 $F_{0,0}$ 的值为多少

如此，以上的$F{i,j}$ 就是我们所说的状态，定义中的“$F_{i,j}$为$dp[i][j]$结点到达底部所经过结点的最大数字之和“就是我们所说的状态的定义。

对于 $F_{i,j}$ 来讲，$F_{i+1,j}$ 和 $F_{i+1,j+1}$ 就是$F_{i,j}$的子问题：因为 $dp[i][j]$ 结点往下一层结点走的时候只有这两个相邻的结点可以选择

2、状态转移方程

上述状态定义好之后，状态和状态之间的关系式，就叫做状态转移方程。

在上一步我们得到了状态的定义：

$F_{i,j}$为$dp[i][j]$结点到达底部所经过结点的最大数字之和

则状态转移方程为：

$F_{i,j}$ = $dp[i][j]$ + $max(F_{i+1,j},F_{i+1,j+1})$

用语言解释一下就是：往下一层走的时候，选择两个结点中状态值最大的那一个

因为最底层的状态值就是本身的值，所以，我们就可以通过该方程从最底层一直往上递推，求得最高层的解

这里可以看出，状态转移方程就是定义了问题与子问题之间的关系，也可以看出，状态转移方程就是一个带有条件判断的递推式。

总结

总的来说，动态规划是一种解决问题的观察角度，让问题能够以递推的方式来解决。所以，如何分析问题，才是动态规划的重点

最后，附上我之前的解题报告：解题报告链接-点我查看解题报告