CF1481X Codeforces Round #699

C Fence Painting（构造）

有用的刷子贪心刷，没用的刷子填在后续的有用/已存在的位置（用个栈记一下就行）

D AB Graph（图上构造）

把边当做三种类型，aa bb ab

m为奇数时，随便挑一条边来回跑m次就行，一定是回文的

m为偶数时，如果存在aa or bb边，来回跑m次；如果不存在，那么图中只有ab边。由于这是一张完全图，$n\ge 3$时一定存在两条连续的首尾相接的ab边，根据m/2的奇偶性即可构造出回文串

考场后1min敲完，我真行

 1 const int N1=1005; const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
 2
 3 int n,T,m;
 4 int p[N1][N1];
 5 char str[N1];
 6 int solve()
 7 {
 8     for(int i=1;i<=n;i++)
 9     {
10         scanf("%s",str+1);
11         for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=i)
12             if(str[j]=='a') p[i][j]=0; else p[i][j]=1;
13     }
14     int fl;
15     if(m&1){
16         puts("YES");
17         for(int k=0;k<=m;k++) if(k&1) printf("%d ",1); else printf("%d ",2);
18             puts("");
19         return 1;
20     }else{
21         for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=j)
22         {
23             if(p[i][j]==p[j][i])
24             {
25         puts("YES");
26                 for(int k=0;k<=m;k++) if(k&1) printf("%d ",i); else printf("%d ",j);
27             puts("");
28                 return 1;
29             }
30         }
31         if(n==2) return 0;
32         for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=j)
33         for(int k=1;k<=n;k++) if(k!=i&&k!=j&&p[i][j]==p[j][k])
34         {
35             puts("YES");
36             if((m/2)&1)
37             {
38                 for(int l=0;l<=m/2;l++) if(l&1) printf("%d ",j); else printf("%d ",i);
39                 for(int l=m/2+1;l<=m;l++) if(l&1) printf("%d ",j); else printf("%d ",k);
40             }else{
41                 for(int l=0;l<=m/2;l++) if(l&1) printf("%d ",k); else printf("%d ",j);
42                 for(int l=m/2+1;l<=m;l++) if(l&1) printf("%d ",i); else printf("%d ",j);
43             }
44             puts("");
45             return 1;
46         }
47     }
48     return 0;
49 }
50
51 int main()
52 {
53     freopen("a.in","r",stdin);
54     scanf("%d",&T);
55     while(T--)
56     {
57         scanf("%d%d",&n,&m);
58         int ans=solve();
59         if(!ans) puts("NO");
60     }
61     return 0;
62 }

E Sorting books（DP）

题目大意：给你一个序列，每次操作可以把一个数放到最后面，问最少需要多少次操作，能让所有相同的数连在一起。$n=5e5$

大力$DP$就行

设$l[i],r[i]$分别表示数i在最左和最右边出现的位置

设$f[i]$表示$i$到$n$中的所有$l[j]\ge i$的数中，可以保留的数字的最大数目，剩下的数都需要按照某种顺序移动到右面

若$f[i]=l[a_{i}]$，如果把$a[i]$留下，那么在$l[a_{i}]$和$r[a_{i}]$之间的其它数字都不能保留，$f[i]=f[r[a_{i}]+1]+num[a_{i}]$

如果不保留$a_{i}$，或者$f[i]$不等于$l[a_{i}]$，那么$f[i]=f[i+1]$

最终答案是$n-f[1]$

然而会有反例，比如2 2 1 2 2 2 1 1 3，最优方案是挪最左边的1，再把3挪到1的右边，代价为2，上面的DP求出的答案是3，即保留2和3挪1

这时需要单独考虑挪走尾部一段数的情况

如果$f[i]$不等于$l[a_{i}]$，例如$f[7]$，保留7和7后面的所有1也是一种可行方案！这其实是在讨论序列最后一个不动的数在哪

 1 const int N1=500005; const int inf=0x3f3f3f3f;
 2
 3 int n,T,m;
 4 int a[N1],L[N1],R[N1],num[N1],f[N1],id[N1];
 5 // vector<int>pos[N1];
 6
 7 int main()
 8 {
 9     freopen("a.in","r",stdin);
10     scanf("%d",&n);
11     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13     {
14         if(!L[a[i]]) L[a[i]]=R[a[i]]=i;
15         else{
16             R[a[i]]=i;
17         }
18         num[a[i]]++; id[i]=num[a[i]];
19         // pos[a[i]].push_back(i);
20     }
21     int j;
22     for(int i=n;i>=1;i--)
23     {
24         f[i]=f[i+1];
25         if(i==L[a[i]]){
26             f[i]=max(f[i],f[R[a[i]]+1]+num[a[i]]);
27         }else{
28             f[i]=max(f[i],num[a[i]]-id[i]+1);
29         }
30     }
31     printf("%d\n",n-f[1]);
32     return 0;
33 }

F AB Tree（DP+贪心）

题目大意：给你一棵树，让你在树的每个节点上填字母，一共要填x个a，n-x个b，问如何填字母，使得根到每个节点的路径组成的串种类最少，$n=1e5$

设根深度为1，树深度为$D$，可以讨论发现答案不是D就是D+1

如果答案是$D$，那么所有相同深度的点字母一定相同，x个a能恰好覆盖完一些深度，其它的填b

考虑用背包$DP$的方法来验证是否存在合法方案，设$f[j]$表示$j$能否被表示

设$val[i]$表示点的数目，$fre[i]$表示点数为$val[i]$的深度出现的次数

如果j能被表示，则$f[j-val[i]],f[j-2*val[i]]...f[j-fre[i]*val[i]]$中有一个能被表示

贪心记录更大的位置，再用滚动数组转移

不同的点数最多有$O(\sqrt n)$种，DP的时间复杂度是$O(n\sqrt n)$

如果答案是$D+1$，必须有一个深度既有a又有b，而且其中的非叶节点必须填相同的字母

设$num[i],rest[i]$分别表示深度i的节点数和非叶节点数

现在开始分配a，设还剩p个a

如果$p>num[i]$，把这个深度填满a

如果$rest[i]\le p<num[i]$，这个位置满足分配条件

如果$p<rest[i]$，继续看后续有没有满足条件的深度

可以证明这种方法一定成立，有如下性质

$rest[i]\le num[i+1]$且$rest[i]\le num[i]$，$rest[D]=0$

$rest$最后一定减少到0，容易发现一定存在$rest[i]\le p<rest[i-1] \le num[i]$

  1 const int N1=100005; const int M1=455; const int inf=0x3f3f3f3f;
  2
  3 struct EDGE{
  4 int to[N1*2],nxt[N1*2],head[N1],cte;
  5 void ae(int u,int v)
  6 { cte++; to[cte]=v, nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte; }
  7 }e;
  8 int n,D,X,Y,type,pre,cur;
  9 int fa[N1],dep[N1],num[N1],rest[N1],col[N1];
 10 vector<int>nodes[N1];
 11
 12 void dfs(int u)
 13 {
 14     num[dep[u]]++; D=max(D,dep[u]); nodes[dep[u]].push_back(u);
 15     for(int j=e.head[u];j;j=e.nxt[j])
 16     {
 17         int v=e.to[j];
 18         dep[v]=dep[u]+1; dfs(v);
 19     }
 20     if(!e.head[u]) rest[dep[u]]++;
 21 }
 22 int ok[2][N1],id[N1],from[N1],pos[N1];
 23 int freq[N1],val[N1],used[N1],m;
 24
 25 void print(int ans)
 26 {
 27     printf("%d\n",ans);
 28     for(int i=1;i<=n;i++) printf("%c",(col[i]^type)+'a');
 29     puts("");
 30 }
 31 void findway(int ma)
 32 {
 33     int now=ma,i,j,k,v;
 34     while(now)
 35     {
 36         j=from[now], i=id[now];
 37         used[val[i]]=(now-j)/val[i];
 38         now=j;
 39     }
 40     for(int i=1;i<=D;i++)
 41     {
 42         if(!used[num[i]]) continue;
 43         for(int j=0;j<nodes[i].size();j++)
 44         {
 45             v=nodes[i][j];
 46             col[v]=0;
 47         }
 48         used[num[i]]--;
 49     }
 50 }
 51 int getx(int fl)
 52 {
 53     if(fl)
 54     for(int i=1;i<=D;i++)
 55     {
 56         if(!pos[num[i]]) m++, pos[num[i]]=m, freq[m]=1, val[m]=num[i];
 57         else freq[ pos[num[i]] ]++;
 58     }
 59     memset(ok,0,sizeof(ok));
 60     int now; ok[0][0]=1; pre=0, cur=1;
 61     for(int i=1;i<=m;i++)
 62     {
 63         memcpy(ok[cur],ok[pre],sizeof(ok[cur]));
 64         for(int k=0;k<val[i];k++)
 65         {
 66             now=-1;
 67             for(int j=k;j<=X;j+=val[i])
 68             {
 69                 if(ok[pre][j]) now=j;
 70                 else if(now!=-1&& val[i]*freq[i]>=j-now)
 71                     ok[cur][j]=1, from[j]=now, id[j]=i;
 72             }
 73         }
 74         swap(cur,pre);
 75         if(ok[pre][X]) break;
 76     }
 77     if(!ok[pre][X]) return 0;
 78     findway(X); print(D);
 79     return 1;
 80 }
 81 int fillma()
 82 {
 83     int x=X;
 84     for(int i=1;i<=D;i++)
 85     if(x>=rest[i]&&x<=num[i])
 86     {
 87         int re=x-rest[i];
 88         for(int j=0;j<nodes[i].size();j++)
 89         {
 90             int v=nodes[i][j];
 91             if(e.head[v]) col[v]=0;
 92             else if(re) col[v]=0, re--;
 93         }
 94         print(D+1);
 95         return 1;
 96     }else if(x>num[i]){
 97         for(int j=0;j<nodes[i].size();j++)
 98         {
 99             int v=nodes[i][j]; col[v]=0;
100         }
101         x-=num[i];
102     }
103     return 0;
104 }
105
106 int main()
107 {
108     freopen("a.in","r",stdin);
109     scanf("%d%d",&n,&X); Y=n-X; if(X>Y) swap(X,Y), type^=1;
110     for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&fa[i]), e.ae(fa[i],i);
111     dep[1]=1, dfs(1);
112     for(int i=1;i<=D;i++) rest[i]=num[i]-rest[i];
113     for(int i=1;i<=n;i++) col[i]=1;
114     if(getx(1)) return 0;
115     int ma=0, k;
116     for(int i=1;i<=D;i++) if(num[i]>ma) ma=num[i], k=i;
117     fillma();
118     // if(!) fillend();
119     return 0;
120 }