石子合并（四边形不等式优化dp） POJ1160

该来的总是要来的————————

经典问题，石子合并。

　　对于 f[i][j]= min{f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]}

From 黑书

凸四边形不等式：w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]（a<b<c<d）

区间包含关系单调: w[b][c]<=w[a][d]（a<b<c<d）

定理1：  如果w同时满足四边形不等式和决策单调性 ,则f也满足四边形不等式

定理2：  若f满足四边形不等式，则决策s满足 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

定理3： w为凸当且仅当w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i+1][j]+w[i][j+1]

简要证明：

若w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]，归纳证明f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]

　　设f[a][d]最优决策是在s取到,f[b][c]最优决策在t取到,设s<t,反之同理

　　可知a<s<t<c<d

　　　　f[a][c]+f[b][d]<=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][c] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][d]

　　　　　　　　　　　 =f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][d] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][c]

　　　　　　　　　　　<=f[a][s]+w[a][d]+f[s+1][d] + f[b][t]+w[b][c]+f[t+1][c]         归纳得到 sc+td<sd+tc  起始条件即定理3

　　　　　　　　　　　=f[a][d]+f[b][c]

得证.

若f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d],则s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

　　仅证s[i][j-1]<=s[i][j],右边同理

　　记f_k[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]

　　记s点为[i,j]最优点,t点为[i,j+1]最优点,

　　则只需证明 在[i,j+1]决策时, 取s点能够比取在k∈[i,s-1]的点更优即可

　　　　即证明 f_s[i,j+1]<=f_k[i,j+1]

　　又因为f_s[i,j]<=f_k[i,j]

　　　　　只需证明 0 <= f_k[i,j] - f_s[i,j] <= f_k[i,j+1] - f_s[i,j+1]

　　　　　　可发现右边即 f_k[i,j] + f_s[i,j+1] <= f_k[i,j+1] + f_s[i,j]

　　　　　　展开后即： f[k][j] + f[s][j+1] <= f[k][j+1] + f[s][j]

　　　　　　正是 k<s<j<j+1 的四边形不等式

得证.

一般利用定理3证明凸函数，然后利用定理2的结论 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

　　就能够使得复杂度由O(n^3)降低为O(n^2)

详细证明参见《动态规划算法的优化技巧》--毛子青（会因为论文用i,j,i',j'搞得雾水，但是慢慢推一下就能够出来）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1005
int s[N][N],f[N][N],sum[N],n;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(f,,sizeof(f));
        sum[]=;
        for(int i=; i<=n; i++){
            scanf("%d",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-];
            f[i][i]=;
            s[i][i+]=i;
        }
        for(int i=; i<=n; i++)
            f[i][i+]=sum[i+]-sum[i-];

        for(int i=n-; i>=; i--)
            for(int j=i+; j<=n; j++)
                for(int k=s[i][j-]; k<=s[i+][j]; k++)
                if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+][j]+sum[j]-sum[i-])
                {
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+][j]+sum[j]-sum[i-];
                    s[i][j]=k;
                }

        printf("%d\n",f[][n]);
    }
    return ;
}

值得注意的是：若是求石子合并的最大值，则不能用四边形不等式。可以证明 f[i,j]=max(f[i+1][j],f[i][j-1])+w[i][j]

POJ1160

f[i][j]=max(f[k][j-1]+w[k+1][i])

　　其中f[i][j]表示前i个村落有j个邮电局，w[i][j]表示[i,j]区间上安装一个邮电局最短路径和

其中w[i][j]邮电局必然是安装在(i+j)/2（中位数）的村落中，若(i+j)/2不为整数，则中间两个村落都可以。证明可以看《算法导论》

至于四边形不等式，这次，可以直接容易得到 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] 稍微证明下就可以出来，凭感觉都是对的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define min(x,y) (x>y?y:x)
int v,p,a[305],sum[305],w[305][305],f[305][35],s[305][35];
int main()
{
    memset(f,127,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&v,&p);
    for(int i=1; i<=v; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i]=a[i]+sum[i-1];
    }
    for(int i=1; i<=v; i++){
        w[i][i]=0;
        for(int j=i+1; j<=v; j++){
            w[i][j]=sum[j]-sum[(i+j)/2]-sum[(i+j)/2-1]+sum[i-1];
            if((i+j)%2!=0) w[i][j]-=a[(i+j)/2];
        }
    }
    for(int i=1; i<=v; i++)
        f[i][1]=w[1][i];
    for(int j=2; j<=p; j++){
        s[v+1][j]=v-1;
        for(int i=v; i>=j; i--)
        {
            for(int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++)
            if(f[i][j]>f[k][j-1]+w[k+1][i])
            {
                f[i][j]=f[k][j-1]+w[k+1][i];
                s[i][j]=k;
            }
        }
    }
    printf("%d",f[v][p]);
    return 0;
}