[bzoj3813]奇数园

仿佛现在已经完成了做题之前先开个坑的习惯，也许是为了逼迫自己去刷一些神题吧。。。然并卵，该剩的好多坑还是剩着呢。

【bzoj3813】一道线段树好题。已经把数论忘光光了。

欧几里德算法

扩展欧几里德算法概述

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

扩展欧几里德算法公式表述

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

扩展算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在无数组整

数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax₁+ by₁= gcd(a,b);

bx₂+ (a mod b)y₂= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax₁+ by₁= bx₂+ (a mod b)y₂;

即:ax₁+ by₁= bx₂+ (a - [a / b] * b)y₂=ay₂+ bx₂- [a / b] * by₂;

也就是ax₁+ by1 == ay₂+ b(x₂- [a / b] *y₂);

根据恒等定理得：x₁=y₂; y₁=x₂- [a / b] *y₂;

这样我们就得到了求解 x₁,y₁ 的方法：x₁，y₁ 的值基于 x₂，y₂.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

贴了上面这么多内容，无非是想说明，若能找到ax+by==1,则（a，b）=1，即题中求出φ（i）；

简述一下题目，询问一段区间内的累乘，求它的欧拉函数。

欧拉函数就是：φ(n) = n * (1 - 1 / p1) * (1 - 1 / p2) * (1 - 1 / p3) * (1 - 1 / p4)……*(1 - 1 / pn)

= n  / (p1 * p2 * p3 * …… * pn) * ((p1 - 1) * (p2 - 1) * (p3 - 1) * …… * (pn - 1))

这道题也是uoj的#38，uoj的blog上面有比较详细的解法，我看的陆爷的blog感觉写得蛮优美..

关于φ的求法有很多种，这里数字*π（pri[i]-1)/pri[i]即答案。只要60位记录一下状态即可。

呵呵哒，又get到一种逆元的新求法，不过没关系啦，考试的时候忘记了大不了写个quickmi

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 19961993
#define N 400050
using namespace std;
,n,tot=;
ll ni[],pri[];
struct node{
  int l,r;
  ll v;
}tree[][];
void calc(int f,int k,int val)
{
  )tree[f][k].v=val;
  else
  {
    tree[f][k].v=;
    ;i<=;i++)
      )tree[f][k].v+=1ll<<(i-);
  }
}
void update(int f,int p)
{
  )tree[f][p].v=tree[f][p+p].v*tree[f][p+p+].v%mo;
   ].v;
}
void build(int f,int p,int l,int r)
{
  tree[f][p].l=l;tree[f][p].r=r;;
  if(l==r){
    calc(f,p,);return;
  }
  build(f,p+p,l,mid);
  build(f,p+p+,mid+,r);
  update(f,p);
}
ll que(int f,int p,int x,int y)
{
  ;
  if(x==l&&r==y)return tree[f][p].v;
  if(y<=mid)return que(f,p+p,x,y);
   ,x,y);
    else{
      ),mid+,y)%mo;
       ,mid+,y);
    }
}
ll query(int xx,int yy)
{
  ll tmp1=que(,,xx,yy),tmp2=que(,,xx,yy);
  ;i<=;i++)
            ))) tmp1 = tmp1*(pri[i]-) % mo * ni[pri[i]] %mo;
  return tmp1;
}
void change(int p,int x,int y)
{
  ][p].l==x&&tree[][p].r==x){
    tree[][p].v=y;tree[][p].v=;
    ;i<=;i++)
     )tree[][p].v+=1ll<<(i-);
    return;
  }
  ][p].l+tree[][p].r)/;
  ,x,y);
  tree[][p].v=tree[][p+p].v*tree[][p+p+].v%mo;
  tree[][p].v=tree[][p+p].v|tree[][p+p+].v;
}
int main()
{
  ni[]=;
  int flag[N];
  ;i<M;i++)
  {
     ni[i] = -mo/i * ni[mo%i] % mo;
     ni[i]=(ni[i]+mo)%mo;
    ){tot++;pri[tot]=i;}
    ;j<=tot;j++)
    {
      if(i*pri[j]>M)break;
      flag[i*pri[j]]=;
      )break;
    }
  }
  build(,,,);
  build(,,,);
  scanf("%d",&n);
  ;i<=n;i++)
  {
    int op,x,y;
    scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
    )printf("%lld\n",query(x,y));
     ,x,y);
  }
} 

bzoj3813

这道题下午吃完午饭来写，困到最后只剩手在动也没啥知觉了。。。不写挂真是谢天谢地！