洛谷P1595 信封问题

题目描述

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入输出格式

输入格式：

一个信封数n

输出格式：

一个整数，代表有多少种情况。

输入输出样例

输入样例#1：

样例1：2

样例2：3

输出样例#1：

样例1：1

样例2：2

传说中的错排问题。

解法一：容斥。

设共有n个位置。所有的排列情况共有n!种，某个位置x排对的情况有(n-1)!种，总数为C[n][1](←组合数)*(n-1)!种。再用容斥原理把多减的加回来，以此类推。

得到： ans= n!-C[n][1]*(n-1)!+C[n][2]*(n-2)!-C[n][3]*(n-3)!......C[n][n]*(n-n)!

 /*by SilverN*/
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int mxn=;
 int n;
 int c[mxn][mxn];
 LL f[mxn];
 void init(){
     int i,j;f[]=;
     for(i=;i<=n;i++)f[i]=f[i-]*i;
     for(i=;i<=n;i++)c[i][]=;
     for(i=;i<=n;i++)
      for(j=;j<=n;j++)
          c[i][j]=c[i-][j-]+c[i-][j];
     return;
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     init();
     int i,j;
     LL ans=f[n];
     for(i=;i<=n;i++){
         if(i&)ans-=f[n-i]*c[n][i];
         else ans+=f[n-i]*c[n][i];
     }
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }

解法二：递推

错排问题递推公式：

　　f[0]=0;f[1]=0;f[2]=1 ,此后 $ f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2]) $

 /*by SilverN*/
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int mxn=;
 int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>='' && ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 int f[mxn];
 int n;
 int main(){
     cin>>n;
     f[]=f[]=;
     f[]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         f[i]=(i-)*(f[i-]+f[i-]);
     }
     cout<<f[n]<<endl;
     return ;
 }