<2014 10 01> 数学基础 Wikipedia

数学基础

数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为真?

目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。实际上，几乎所有现在的数学定理都可以表述为集合论下的定理。在这个观点下，所谓数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个形式化的方法不能解释一些问题：为什么我们应沿用现行的公理而不是别的，为什么我们应沿用现行的逻辑规则而不是别的，为什么"真"数学命题（例如，算术领域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。

上述的形式化真实性也可能完全没有意义：有可能所有命题，包括自相矛盾的命题，都可以从集合论公理导出。而且，作为歌德尔第二不完备定理的一个结果，我们永远无法排除这种可能性。

在数学实在论（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下，自然定律和数学定律有类似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了数学基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？

一些数学哲学的现代理论不承认这种数学基础的存在性。有些理论倾向于专注数学实践，并试图把数学家的实际工作视为一种社会群体来作描述和分析。也有理论试图创造一个数学认知科学，把数学在"现实世界"中的可靠性归结为人类的认知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，而不是任何"客观"的外在构造。这个主题一直很有争论性。

定义（definition）、公理（axiom）、定理（theorem）、推论（corollary）、命题（proposition）、引理（lemma）之间的相互关系基本如下。

定理、引理没有严格区分，一般定理是主要结果，引理是辅助、中间结果。

首先、定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。

其次、定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。

最后、引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。