【CodeForces】915 G. Coprime Arrays 莫比乌斯反演
【题意】当含n个数字的数组的总gcd=1时认为这个数组互质。给定n和k,求所有sum(i),i=1~k,其中sum(i)为n个数字的数组,每个数字均<=i,总gcd=1的方案数。n<=2*10^6。答案将所有sum(i)处理成一个数字后输出。
【算法】数论(莫比乌斯反演)
【题解】假设当前求sum(k),令f(i)表示gcd=i的数组方案数,F(i)表示i|gcd的数组的方案数。
因为F(x)=Σx|df(d),由莫比乌斯反演定理,f(x)=Σx|dμ(d/x)*F(d)。
又F(x)=(k/x)^n,所以f(1)=Σμ(d)*(k/d)^n,d=1~k。
初始k=1,当k++时ans+=Σd|kμ(d)*((k/d)^n-(k/d-1)^n),这个过程只需要k ln k枚举贡献答案即可,同时预处理快速幂。
复杂度O(k log n+k ln k)。
#include<cstdio>
const int N=,MOD=1e9+;
int n,m,miu[N],prime[N],mark[N],sum[N],p[N],tot,ans,ANS;
int pow(int x,int k){
if(!x)return ;
int ans=;
while(k){
if(k&)ans=1ll*ans*x%MOD;
x=1ll*x*x%MOD;
k>>=;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
miu[]=;
for(int i=;i<=m;i++){
if(!mark[i]){miu[prime[++tot]=i]=-;}
for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=m;j++){
mark[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==)break;
miu[i*prime[j]]=-miu[i];
}
}
for(int i=;i<=;i++)p[i]=pow(i,n);
for(int i=;i<=m;i++){
for(int j=i;j<=m;j+=i)sum[j]=((sum[j]+1ll*miu[i]*(p[j/i]-p[j/i-]))%MOD+MOD)%MOD;
ans=(ans+sum[i])%MOD;
ANS=(ANS+(ans^i))%MOD;
}
printf("%d",ANS);
return ;
}
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