LUOGU 1525 关押罪犯 - 并查集拆点（对立点） / 二分+二分图染色

传送门

分析：

并查集：

第一步先将所有矛盾从大至小排序，显然先将矛盾值大的分成两部分会更优。

普通的并查集都只能快速合并两个元素至同一集合，却不能将两个元素分至不同集合。

对于将很多数分成两个集合，并给出两数存在的矛盾关系（A和B不能在一集合），普通并查集无法解决。

考虑见每个元素拆成两个点，拆出来的点是它的对立点(i+n)，如果要把A和B分至不同集合，就连边 A->B+n，B->A+n（假设先不压缩路径），也就是说：将A与B的对立点分至一个集合 \(\Leftrightarrow\) 将A与B分至不同集合。当然这种思路只能解决分成两部分的情况。

二分+二分图染色

其实就是要求把有矛盾的分到不同组里，于是可以使用二分图染色。先排序，然后二分不能满足的第一个位置，将前面的矛盾关系进行二分图染色，如果然不成功（相邻节点颜色相同），那么更新答案。注意二分图染色要对每个未染色的点都染一次，因为建出来的图可能不联通。

code

并查集:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 50, M = 1e5 + 50;
int n, m, anc[N * 2];
struct node{
	int x, y, w;
	inline bool operator < (const node &b) const{
		return w > b.w;
	}
}edge[M];
inline int getAnc(int x){return x == anc[x] ? x : (anc[x] = getAnc(anc[x]));}
int main(){
	freopen("h.in", "r", stdin);
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) anc[i] = i;
	for(int i = 1; i <= m; i++)scanf("%d%d%d", &edge[i].x, &edge[i].y, &edge[i].w);
	sort(edge + 1, edge + m + 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int fx = getAnc(edge[i].x), fy = getAnc(edge[i].y);
		if(fx == fy){
			printf("%d\n", edge[i].w);
			return 0;
		}
		else{
			anc[fx] = getAnc(edge[i].y + n);
			anc[fy] = getAnc(edge[i].x + n);
		}
	}
	printf("0");
	return 0;
}

二分+二分图染色：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 40, M = 1e5 + 50;
int n, m, col[N];
vector<int> G[N];
struct State {
	int u, c, f;
	State() {}
	State(int _u, int _c, int _f):u(_u), c(_c), f(_f) {}
};
queue<State> que;
struct node {
	int a, b, c;
	inline bool operator < (const node &g) const {
		return c > g.c;
	}
} item[M];

inline bool BiCheck(int mid) {
	memset(col, -1, sizeof(int) * (n + 5));
	while(!que.empty()) que.pop();
	for(int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear();
	for(int i = 1; i <= mid; i++) {
		G[item[i].a].push_back(item[i].b);
		G[item[i].b].push_back(item[i].a);
	}

	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(col[i] == -1){
			col[i] = 0;
			que.push(State(i, 0, 0));
			while(!que.empty()) {
				State t = que.front();
				que.pop();
				int u = t.u, c = t.c, f = t.f;
				for(int e = G[u].size() - 1; e >= 0; e--) {
					int v = G[u][e];
					if(v == f) continue;
					if(col[v] != -1) {
						if(col[v] == c) return false;
						else continue;
					} else col[v] = c ^ 1, que.push(State(v, c ^ 1, u));
				}
			}
		}

	}
	return true;
}

int main() {
	freopen("h.in", "r", stdin);
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &item[i].a, &item[i].b, &item[i].c);
	sort(item + 1, item + m + 1);

	int l = 1, r = m, ans = 0;
	while(l <= r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if(!BiCheck(mid)) ans = item[mid].c, r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}