P3270 [JLOI2016]成绩比较（拉格朗日插值）

传送门

挺神仙的啊……

设\(f[i][j]\)为考虑前\(i\)门课程，有\(j\)个人被\(B\)爷碾压的方案数，那么转移为$$f[i][j]=\sum_{k=j}^{n-1}f[i-1][k]\times {k \choose k-j}\times {n-1-k \choose r[i]-1-(k-j)}\times g(i)$$

解释一下，就是考虑第\(i\)门课，枚举在这之前分比\(B\)爷高的人数\(k\)，要从中选出\(k-j\)个使得他们这一门课的分数比\(B\)爷高，然后在剩下的\(n-1-k\)个人里选出\(r[i]-1-(k-j)\)个人使他们比\(B\)爷分数高

最后的\(g(i)\)表示对于第\(i\)门课程，把\(1\)到\(u[i]\)的分数分给\(n-1\)个人使得他们中比\(B\)爷分数高的人数为\(r[i]\)的方案数

可以枚举\(B\)爷的分数，得$$g[i]=\sum_{k=1}^{u_i}k{n-r[i]}(u_i-k)^{r[i]-1}$$

然而\(u_i\)太大不好直接算，发现后面那东西是一个多项式，且多项式的次数为\(n-1\)，所以可以用拉格朗日插值快速计算

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=155,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
int C[N][N],f[N][N],u[N],r[N],g[N];
int n,m,k;
int Large(int d,int r){
	fp(i,0,n){
		g[i]=0;
		fp(j,1,i)g[i]=add(g[i],1ll*ksm(j,n-r)*ksm(i-j,r-1)%P);
	}if(d<=n)return g[d];
	int res=0,ty=(n&1)?P-1:1,tmp=1;
	fp(i,1,n)tmp=1ll*tmp*(d-i)%P*ksm(i,P-2)%P;
	fp(i,0,n){
		res=add(res,1ll*g[i]*ty%P*tmp%P);
		tmp=1ll*tmp*(d-i)%P*ksm(d-i-1,P-2)%P*(n-i)%P*ksm(i+1,P-2)%P;
		ty=P-ty;
	}return res;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),m=read(),k=read();
	fp(i,1,m)u[i]=read();
	fp(i,1,m)r[i]=read();
	fp(i,0,N-5){
		C[i][0]=1;
		fp(j,1,i)C[i][j]=add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
	}
	f[0][n-1]=1;
	fp(i,1,m){
		int res=Large(u[i],r[i]);
		fp(j,k,n-1){
			fp(l,j,n-1)if(l-j<=r[i]-1)
				f[i][j]=add(f[i][j],1ll*f[i-1][l]*C[l][l-j]%P*C[n-1-l][r[i]-1-(l-j)]%P);
			f[i][j]=mul(f[i][j],res);
		}
	}printf("%d\n",f[m][k]);return 0;
}