[CSP-S模拟测试]:导弹袭击（数学+凸包+单调栈）

题目背景

$Guess$准备向敌军阵地发起进攻了！$Guess$的武器是自动制导导弹。
然而在机房是不允许游戏的，所以班长$XZY$对游戏界面进行了降维打击,结果。。。

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题目描述

众所周知，环境因素对导弹制导的效率影响是很大的。地图上总共有两种环境，暂且称为环境一和环境二。$Guess$有$n$种型号的导弹，每一种都有两个参数$a_i,b_i$，分别表示该型号导弹在两种环境下的恒定飞行速度。
然而，$Guess$攻击的距离和角度会经常调整，导弹预定轨迹上的地形也会随之变化。一维化以后，导弹预定轨迹可以看成一条长度不定的线段，其中经过环境一的长度为$A$，经过环境二的长度为$B$。
在不确定两种环境长度比重的情况下，$Guess$想知道，有哪几种型号的导弹是有用的。某种型号的导弹有用，当且仅当存在一对正实数$A,B$，使得该型号的总飞行时间为所有型号中最短的之一。

原题见：$[CF535E]Tavas\ and\ Pashmaks$

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输入格式

第一行一个正整数$n$，表示型号总数。
接下来$n$行，第$i$行两个正整数$a_i,b_i$，分别表示$i$型导弹在环境一和环境二下的飞行速度。

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输出格式

一行若干个正整数，从小到大输出每个有用的导弹型号的编号$i$，用单个空格隔开。

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样例

样例输入：

7
6 6
5 7
3 13
4 12
2 13
12 4
3 13

样例输出：

1 3 4 6 7

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数据范围与提示

样例解释：

取$A=12,B=12$时，型号$1,4,6$均用时最快，为$4$单位时间；
取$A=3,B=39$时，型号（参数相同）均用时最快，为$4$单位时间；
容易发现无论如何调整$A,B$，型号$2,5$用时均不是最快的（注意$A,B$为正实数）。

数据范围：

对于$10\%$的数据，$n\leqslant 2$；
对于$20\%$的数据，$n\leqslant 3$；
对于$40\%$的数据，$n\leqslant 300$；
对于另$20\%$的数据，$n\leqslant 3\times 10^4,a_i,b_i\leqslant 3\times 10^3$；
对于另$20\%$的数据，$n\leqslant 3\times 10^5,a_i,b_i\leqslant 3\times 10^4$；
对于$100\%$的数据，$n\leqslant 3\times 10^5,a_i,b_i\leqslant 10^9$。

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题解

可以将每颗导弹看成是平面上的点$(\frac{1}{a_i},\frac{1}{b_i})$，这样问题就转化成了：给定$A,B$，最小化$z=Ax+By$（$x,y$为顶点坐标）。

那么，每两个点都会形成一个一次函数，而对于所有一次函数，位于其下凸包上的点也就是能做贡献的点。

先将其按横坐标排序，再用一个单调栈维护这个下凸包就好了。

注意如果有两点斜率为正，那么位于右边的点肯定不会做贡献。

这道题卡了精度，所以算斜率的式子需要做如下化简：

$\Large \begin{array}{rl} & \frac{\frac{1}{b_j}-\frac{1}{b_i}}{\frac{1}{a_j}-\frac{1}{a_i}} \\ =& \frac{\frac{b_i-b_j}{b_ib_j}}{\frac{a_i-a_j}{a_ia_j}} \\ =& \frac{a_ia_j(b_i-b_j)}{b_ib_j(a_i-a_j)}\end{array}$

这样就可以避免精度问题。

时间复杂度：$\Theta(n\log n)$（$\log$来自排序）。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec{int a,b,id;}e[300001];
int n;
bool vis[300001],ans[300001];
int sta[300001];
bool cmp(rec a,rec b){return a.a>b.a||(a.a==b.a&&a.b>b.b);}
double slope(rec a,rec b){return 1.0*a.a*b.a*(a.b-b.b)/(1.0*a.b*b.b*(a.a-b.a));}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&e[i].a,&e[i].b);
		e[i].id=i;
	}
	sort(e+1,e+n+1,cmp);
	int maxb=e[1].b;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(e[i].b<=maxb)vis[i]=1;
		else maxb=e[i].b;
	sta[++sta[0]]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(vis[i])continue;
		if(slope(e[i],e[sta[sta[0]]])>0)continue;
		while(sta[0]>1&&slope(e[i],e[sta[sta[0]]])<slope(e[sta[sta[0]-1]],e[sta[sta[0]]]))sta[0]--;
		sta[++sta[0]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=sta[0];i++)
	{
		ans[e[sta[i]].id]=1;
		for(int j=sta[i]+1;j<=n&&e[sta[i]].a==e[j].a&&e[sta[i]].b==e[j].b;j++)ans[e[j].id]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(ans[i])printf("%d ",i);
	return 0;
}

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rp++