置换群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）

置换群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）

群的定义

给定一个集合\(G=\{a, b, c...\}\)和集合\(G\)上的二元运算*，并满足：

1. 封闭性：\(\forall a, b \in G, \exists c \in G, a*b=c\)。也就是集合里的元素怎么乱搞都只能搞出来集合里的东西。

2. 结合律：\(\forall a, b, c \in G, (a*b)*c=a*(b*c)\)。注意不一定满足交换律哟。

3. 单位元：\(\exists e \in G, \forall a \in G, a*e=e*a=a\)。也就是说存在一个元素e，任意一个元素和它运算得到它本身。其中e叫做单位元。

4. 逆元：\(\forall a \in G, \exists b \in G, a*b=b*a=e\)，记\(b=a^{-1}\)。也就是说对于任何一个元素，都有另一个元素和它运算得到单位元。由于不一定有交换律，所以还有左右逆元之分。然而在群中左逆元=右逆元。

   证明：\(\forall x \in G,\exists a \in G, ax=e\)，即a是X的左逆元。

   显然\(\exists b \in G,ba=e\)。也就是说b是a的左逆元。

   那么\(xa=(ba)(xa)=b(ax)a=ba=e\)（结合律），也就是说a也是x的右逆元。

则称集合G在运算“*”上是一个群，简称G是群。一般a*b简写成ab，*可以是任意运算。若G中的元素个数是有限的，则称G为有限群，否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

群的运算

对于\(g \in G\)，对于G的子集H，定义\(g*H=\{gh \mid h\in H\}\)，即g对H中的每一个元素运算而生成的集合，简写为gH。同理，H*G简写为Hg，有毒。

对于G的子集A，B，定义\(A*B=\{ab \mid a \in A,b \in B\}\)

对于G的子集H，记\(H^{-1}=\{h^{-1} \mid h \in H\}\)。也就是H的逆就是H中所有元素的逆组成的集合。

定理1：在具有封闭性，结合律，单位元和逆元的二元组(G，*)里，消去律存在

消去律的定义：对于群中的消去律来说，它的定义是x=y与xa=ya互为充要条件。也就是说等式两边可以同时消掉一个相同的量。

证明很简单，只需要在xa=ya两边同时乘以\(a^{-1}\)即可。

定理2：若(G，*)满足封闭性，结合律，单位元和消去律，则对于任一\(g \in G\)，gG=Gg=G

简单来说，这个定理的意思是，挑出集合中的一个元素，和集合内所有的元素都搞一遍，搞出来的还是原来那个集合。

证明：根据封闭性，\(gG \subseteq G\)。并且根据定理1的消去律，在gG中不会出现类似于\(xa=ya\ (x, y\in gG)\)这样的情况（不然违背集合的不重复性），所以\(|gG|=|G|\)。因此，\(gG=G\)。同理可证得\(Gg=G\)。

定理3：在具有封闭性，结合律，单位元和消去律的二元组(G，*)里，逆元存在

证明：任意取一个G中的元素g，由于gG=G，所以gG中一定含有单位元e。这表明，G中有一个元素，和g运算得到e。所以G中任意元素的逆元都存在。

定理4：若(G, *)是群，H是G的非空子集，并且(H, *)也是群，那么称H为G的子群。

根据定理4可以判断子集是否为一个子群：

1. \(HH=H\)。如果这个条件满足，说明满足了封闭性。
2. \(H^{-1}=H\)，即H中的每一个元素都有逆元，并且H中有单位元，因为只有单位元的逆元是单位元。

同时，因为H是G的子集，结合律也是满足的，所以H也是群，称为G的子群。

置换

置换的定义

设M是一个非空的有限集合，元素个数为n，M的一个一对一变换称为一个n元置换。如果把M的元素从1到n编号，那么置换\(\sigma\)可以看作一个1到n的排列。

设\(M={a_1, a_2, ..., a_n}\)，则M的置换\(\sigma\)可简记为：\(\sigma = \begin{pmatrix} a_1 & a_2...a_n\\b_1 & b_2...b_n \end{pmatrix}\)，\(b_i=\sigma(a_i)\)。考虑一下重排列的个数，易得M的置换有\(n!\)个。若\(\sigma(a_i)=a_i\)，则\(\sigma\)为n元恒等置换。\(S_n\)表示所有n元置换的集合。

举个栗子：\(\begin{pmatrix} 1,2,3,4 \\ 3,1,2,4 \\ \end{pmatrix}\)，意思是原来在第一位上的元素要跑到第三位去，第二位上的元素要跑到第一位去……以此类推。在这个置换下，1234经过置换就变成了3124，再置换就变成了2314。容易发现置换的列随意调动，置换本身的含义并不变（第i号元素该跑到哪还是跑到哪），所以一般第一行就是123……n。

如果把\(a_i\)写成数列，画上\(a_i\)向\(b_i\)的箭头，那么置换就成了一个图。n元置换\(\sigma\)对应的图形表达式是\(G_\sigma=\sum^n_{i=1}a_iz_i\)。\(z_i\)表示长度为i的圈，\(a_i\)表示如此的\(z_i\)的个数。显然有这样的等式：\(a_1+2a_2+...+ra_n=n\)。

当n相等时，置换是可以运算的，称为置换的连接。规则如下：\(\begin{pmatrix} 1,2,3,...,n \\ a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ b_1,b_2,b_3,...,b_n \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1,2,3,...,n \\ b_1,b_2,b_3,...,b_n \\ \end{pmatrix}\)

无论置换怎样搞来搞去，一定都在\(S_n\)，这是封闭性中。显然置换的运算是满足结合律（置换同属\(S_n\)）的（试着从单个元素的变化去考虑），然而不满足交换律。同时，\(S_n\)中有单位元，也就是n元恒等置换。任意一个置换在\(S_n\)中都有逆元素，这个逆元素就是原置换两行调换后的置换。

所以在\(S_n\)中，置换的运算满足封闭性，结合律，同时单位元和逆元存在。那它，它就是个群啊！

置换群

n元置换的群体作成的集合\(S_n\)对置换的连接作成一个群，称为n次对称群（任意子群称作n次置换群）。

轮换

设\(\sigma\)是M的置换，若可取到M的元素\(a_1,a_2...,a_r\)，使得\(\sigma (a_1)=a2,\sigma (a_2)=a_3...\sigma (a_{r-1})=a_r, \sigma (a_r)=a_1\)，而M的其余元素不变，则称\(\sigma\)为一个轮换，记为\((a_1\ a_2\ ...\ a_r)\)。相当于\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 ...a_{n-1} & a_n \\ a_2 & a_3 ... a_n & a_1\end{pmatrix}\)。可以把轮换的任意元素\(a_i\)排在头一位而改写成\((a_i\ a_{i+1}\ ...\ a_r\ a_1\ ...\ a_{i-1} )\)。说白了就是每个元素跑到下一个元素代表的位置去。

有结论：\((a_1\ a_2\ ...\ a_r)^{-1}=(a_r\ ...\ a_2\ a_1)\)。结合置换去想就容易得出了。

不相杂轮换

两个轮换不相杂，意思是两个轮换中的元素没有相同的，也就是说互不干扰。由于互不干扰，不相杂轮换的运算显然是有结合律的。

有一个很重要的定理：任意置换\(\sigma\)可以写成不相杂轮换的连接。如果不考虑乘积的顺序，则写法是唯一的。例如：\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 1 & 5 & 4 & 2 & 8 & 7 & 6 \end{pmatrix}=(1\ 3\ 5\ 2)(4)(6\ 8)(7)=(3\ 5\ 2\ 1)(7)(8\ 6)(4)\)。去掉单轮换也就是轮换表法的省略形式：\((1\ 3\ 5\ 2)(6\ 8)\)。

为什么置换一定能写成轮换的连接呢？随便挑一个没有被选过的元素\(a_1\),找到它的置换\(\sigma(a_1)=a_2\)，再找到\(\sigma(a_2)=a_3\)……以此类推。由于n是有限的，总会回到\(a_1\)。因此这就是一个轮换。同理，再选择新的元素，要么属于原来的轮换。要么和原来的轮换没有交集。所以置换能写成多个轮换的连接。同时这个连接只有一种（显然法）。

对换

轮换的长度，表示轮换的元素集合中所含的元素个数。对换即是长度为2的轮换。由于\((a_1\ a_2...a_r)=(a_1\ a_r)(a_1\ a_{r-1})...(a_1\ a_3)(a_1\ a_2)\)。任何轮换都可以表示成n-1个对换的连接（未必只有一种）。

置换的奇偶性

设\(\sigma\)表示为k个不相杂轮换的乘积（包括长度为1的轮换），每个轮换长度为\(r_i\)因为每个长度为r的轮换都可以写成r-1个对换的乘积。于是\(\sigma\)可写成\(\sum^k_{j=1}(r_j-1)=n-k\)个对换的乘积。如果n-k是奇数，称为奇对换，否则称为偶对换。因此n-k称为\(\sigma\)的定性数。奇置换可表为奇数个对换之积，偶置换可表为偶数个对换之积。显然，奇偶对换的运算性质和奇偶数的加法运算是一样的。

设M的元数为n，若\(n>1\)，则奇置换的个数和偶置换的个数相等，都为\(\frac{n!}{2}\)。这可以用群的封闭性和消去律证明。

陪集

设H是群G的子群，对于G中的元素a，\(\{ah \mid h \in H\}\)表示H的一个左陪集，记作aH。\(\{ha \mid h \in H\}\)表示H的一个右陪集，记作Ha。简单来说，H中所有元素和a运算组成H的陪集。注意a不一定要在H中，在G中即可！下面是一些关于陪集的定理。不需要用到关于置换的内容。

定理1：H的任意陪集的大小相等，等于|H|。

这个定理的证明很简单，由于消去律和集合的不可重性可证。

定理2：\(a \in aH\)且\(a \in Ha\)

由于H是群，其中必有单位元e，\(ae=e\)。

定理3：\(a \in H\)和\(aH=H\)，\(Ha=H\)互为充要条件

\(a \in H\)是\(aH=H\)的充分条件，由群的运算中的定理二可得。

\(aH=H\)是\(a \in H\)的充分条件，由陪集中的定理二即可得。右陪集同理。

定理4：\(b \in aH\)和\(bH=aH\)互为充要条件（证明需要紧抓H是群的条件）（右陪集同理）

\(bH=aH\)是\(b \in aH\)的充分条件，由性质二，即\(b \in bH\)可得。右陪集同理

\(b \in aH\)是\(bH=aH\)的充分条件，原因是b可以被写成\(ax\ (x \in H)\)的形式。由于H是群，\(bH=axH=aH\)。右陪集同理。

定理5：\(aH \cap bH \ne \emptyset\)能推出\(aH=bH\)（右陪集同理）

设\(c \in aH \cap bH\)，由定理4得\(cH=aH=bH\)。通过这个可以得出结论：对于G得子群H，H的两个同向陪集要么相等，要么不相交。

定理6：\(\cup_{x \in G}xH=G\)（右陪集同理）

因为\(e \in H\)，所以枚举所有的\(x \in G\)，得出的陪集并起来一定包含于G。同时由于封闭性等于G。

拉格朗日定理

若H是有限群G的子群，那么\(|X|\)整除\(|G|\)。

由定理5可知，H的陪集之间要么相等要么不相交。由性质6可知，H所有陪集的并等于G。由于H的陪集大小等于H，我们把H的不重合的陪集，想象成若干条不相交的线段，覆盖在G上。因此，G就被划分为了大小相等的若干段。因此这个定理就得证了。

插一句，考虑有限群G，\(a\in G\)，元素的幂表示为\(a^k=e\prod_{i=1}^ka\)。使得\(a^d=e\)的最小正整数d称为a的阶，记作\(d=ord(a)\)。由于G为有限群，ord(a)一定存在。考虑由a的幂生成的集合：\(S={a^k|k\in Z}\)，显然S为G的子群。那么根据拉格朗日定理，我们可以证出一个神奇的东西——\(|S|=ord(a)\mid |G|\)。它对关于原根的证明是有用的。

轨道-稳定集定理

轨道与等价类

集合\(k\)对置换群G中的所有元素运算构成的集合叫做\(k\)的轨道，记作\(E_k\)。我们也称\(E_k\)为包括\(k\)的等价类。说白了，一个集合和一个置换群搞出来的东西组成的集合，就叫做那个集合的轨道，也叫做包括原来集合的等价类。

稳定集

k是有限集X中m个元素构成的子集，置换群G中可以使k中元素不变的置换集合叫做k的一个稳定集，记为\(Z_k\)，说白了，使一个集合不变的（置换的简写轮换表示法中没有集合中元素）置换集合叫做稳定集。在m=1时，稳定集也称k中元素a的稳定化子。

由于\(Z_k\)中的置换\(\sigma\)与k运算仍是k，\(\sigma_1 \sigma_2\)得到的结果一定也使k不变（从双射的角度去考虑）。这满足了封闭性。由于\(ek=k\)，所以单位元e存在。显然逆元和结合律也存在。所以\(Z_k\)是G的一个子群。

轨道-稳定集定理

|\(E_k\)|*|\(Z_k\)|=|G|，即集合k在G上的轨道数目，乘上k在G上的稳定集数目，等于G中的置换数目。

首先，\(|E_k|\)是\(Z_k\)的不重复陪集个数（待证）。所以——由于\(Z_k\)的陪集大小等于\(Z_k\)，并且\(Z_k\)的不重复陪集铺满了G，所以\(Z_k\)的陪集个数×\(Z_k\)的陪集大小=G，\(|E_k|*|Z_k|=|G|\)。哈哈快看，这是最新的美国大片，陪集的性质和拉格朗日定理的思想用上了。

着色

如果要用红蓝两色给一个正方形的四个顶点着色，若允许正方形转动和从边的中点翻转，有多少种着色方法？如果用从左上角开始，顺时针旋转得到的颜色序列表示正方形的着色，如RBRR，那么它和BRRR，RRRB，RRBR是一种着色，因为它们都可以通过旋转或翻转得到，所以它们组成了等价类。

Burnside引理

Burnside引理可以导出在置换群G的作用下，集合X的非等价着色数。

参考资料：漫谈OI中的群论入门，有关群论_置换群_等的简单介绍，离散数学置换群课件