2019.2.14 考试T1 FFT

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

衡水二中的机房里经常有人莫名其妙地犇雷，leizi很生气，决定要找出那个犇雷的人

机房有n个人，每个人都认为机房里有两个人可能会犇雷，其中第i个人认为xi和yi可能会在机房犇雷(1<=i,xi,yi<=n,xi!=yi) (某个人不可能资磁自己犇雷，即xi,yi!=i)

leizi决定找出两个pwang并把他们按在床上揍。leizi希望选择的方案恰好被c个人支持，一个oier会支持一个方案当且仅当至少有一个他认为的pwang被leizi揍了。

请对于所有的c∈[0,n]求出leizi选择的方案数。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

从leigehhh.in读入

第一行输入一个整数n

接下来n行，每行输入两个整数xi和yi中间用空格分开。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

将输出写到leigehhh.out

输出n+1行，第i行代表c=i-1时的方案数

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

对于10%的数据，n<=100

对于30%的数据，n<=1000 且数据随机

对于100%的数据，n<=100000

你需要提交源文件leigehhh.cpp/c/pas

本题开启special judge，如果你觉得某个子任务非常难，您可以尝试完成以下任务，并获得本测试点60%的分数：

第一行输出"IAKNOI"（不包含引号）

第二行输出对于c∈[n/4,n]的方案数之和，n/4向下取整。

例如对于样例，可以输出：

IAKNOI

本题使用Lemon评测，配置Lemon风格的自定义校验器。

温馨提示：1.正解不难2.如果不会正解，本题可以使用多种奇怪的方法操到好多分

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

我们开一个数组，mp[i]记录对每个人有多少人支持i

设\(S_{i,j}\)为同时支持i和j的人数

那么答案即为\(mp[i]+mp[j]-s[i][j]\)的桶

不难发现，\(s[i][j]\)只存在n个，而前面存在\(n^2\)个

考虑算出\(mp[i]+mp[j]\)的桶，然后在桶上修改

即\(t[mp[i]+mp[j]]--,t[mp[i]+mp[j]-s[i][j]]++\)，直接修改

这个很容易办到

现在考虑怎么求\(mp[i]+mp[j]\)

可以列出式子，最后的桶\(ans[v]=\sum[mp[i]+mp[j]==v]\)

这启示我们对mp开桶，设为t

\(\begin{aligned} ans[v]=\sum_{mp_i+mp_j=v}t_{mp_i}*t_{mp_j}\end{aligned}\)

这是。。。卷积啊！！

一波FFT过去，ans就出来了

但其中有些值不对

比如\(t:1 \ \ 3 \ \ 2\)

FFT后4的系数为\(12+33+2*1\)

但实际上我们只有一个3，而且上面有重复

对于\(mp_i=mp_j\)的情况，不难发现只有在奇数的时候才会出现

这时候把平方减去，加上正确的贡献\(C_n^2\)即可

还要/2

最后别忘考虑那些存在s的东西

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cctype>

#include<vector>

#include<cmath>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

namespace qwq {

	void in() {

		freopen("leigehhh.in", "r", stdin);

		freopen("leigehhh.out", "w", stdout);

	}

	void out() {

		fclose(stdin);

		fclose(stdout);

	}

}

using std::vector;

const int maxn = 1e5 + 100;

const double pi = acos(-1);

int t[maxn], mp[maxn];

LL tt[maxn], lst[maxn], ans[maxn];

vector<int> v[maxn];

struct node {

	double x, y;

	node(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {}

	friend node operator + (const node &a, const node &b) { return node(a.x + b.x, a.y + b.y); }

	friend node operator - (const node &a, const node &b) { return node(a.x - b.x, a.y - b.y); }

	friend node operator * (const node &a, const node &b) { return node(a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x); }

	friend node operator / (const node &a, const double &b) { return node(a.x / b, a.y / b); }

}A[maxn], B[maxn], C[maxn];

int len, r[maxn];

void FFT(node *D, int flag) {

	for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(D[i], D[r[i]]);

	for(int l = 1; l < len; l <<= 1) {

		node w0(cos(pi / l), flag * sin(pi / l));

		for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) {

			node w(1, 0), *a0 = D + i, *a1 = D + i + l;

			for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = w * w0) {

				node tmp = *a1 * w;

				*a1 = *a0 - tmp;

				*a0 = *a0 + tmp;

			}

		}

	}

	if(!(~flag)) for(int i = 0; i < len; i++) D[i] = D[i] / len;

}

int main() {

	freopen("leigehhh.in", "r", stdin);

	freopen("leigehhh.out", "w", stdout);

	int n = in();

	int x, y;

	for(int i = 1; i <= n; i++) {

		x = in(), y = in();

		v[x].push_back(y);

		v[y].push_back(x);

		mp[x]++, mp[y]++;

	}

	for(int i = 1; i <= n; i++) {

		std::sort(v[i].begin(), v[i].end());

		for(int j = 0; j < (int)v[i].size(); j++) t[v[i][j]]++;

		for(int j = 0; j < (int)v[i].size(); j++) {

			if(j && v[i][j] == v[i][j - 1]) continue;

			ans[mp[i] + mp[v[i][j]]]--;

			ans[mp[i] + mp[v[i][j]] - t[v[i][j]]]++;

			t[v[i][j]] = 0;

		}

	}

	for(int i = 1; i <= n; i++) tt[mp[i]]++;

	for(int i = 0; i <= n; i++) B[i] = A[i] = tt[i];

	for(len = 1; len <= n + n; len <<= 1);

	for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));

	FFT(A, 1), FFT(B, 1);

	for(int i = 0; i < len; i++) C[i] = A[i] * B[i];

	FFT(C, -1);

	for(int i = 0; i <= n; i++) lst[i] = (int)round(C[i].x);

	for(int i = 0; i <= n; i++) {

		if(i & 1) continue;

		lst[i] -= tt[i >> 1] * tt[i >> 1];

		lst[i] += (tt[i >> 1] * (tt[i >> 1] - 1LL));

	}

	for(int i = 0; i <= n; i++) printf("%lld\n", (ans[i] >> 1LL) + (lst[i] >> 1LL));

	return 0;

}

一直写vector的NTT，一下子写double的FFT，数组开小了。。。。\(100pts\to 30pts\)欲哭无泪(雾