【bzoj1977】【严格次小生成树】倍增维护链上最大次大值

（上不了p站我要死了，侵权度娘背锅）

Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：

∑value(e) (e∈EM)< ∑value(e)(e∈ES）(value(e) 表示边 e的权值)

这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6

1 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

3 4 3

4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

多写写最小生成树的题，壮胆子

当得到最小生成树后，我们考虑用其他边来代替最小生成树中的边，而这个边一定是替换树上u到v的链上的最大的边，这样才能使差值最小。对每条边都处理一次，得出最小的差值，加上原来最小生成树的权值和，就是答案。

因为是严格次小，所以如果只查询链上最大值，很可能会出现链上最大值等于当前边，这样就没有意义了，所以还要维护链上次大值。

其实次大值并不难求。考虑用倍增维护链上值，则转移合并时

cmaxn=max( min( maxn1 , maxn2 ) , max ( cmaxn1,cmaxn2 ) )

倍增写熟了还是蛮好用的

1A代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

template <typename T>inline void read(T &res){
    T k=1,x=0;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')k=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    res=k*x;
}

const int N=100000+5;
const int M=300000+5;

int n,m,fa[N];
int head[N],end[2*N],val[2*N],nxt[2*N],hh=0;
int est[N][19],er[N][19],anc[N][19],dep[N];
bool exi[M];
struct node{
    int x,y;
    ll z;
}e[M];

bool cmp(const node &a,const node &b){
    return a.z<b.z;
}
int getfa(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=getfa(fa[x]);
}
void adde(int a,int b,int v){
    hh++;
    end[hh]=b;
    val[hh]=v;
    nxt[hh]=head[a];
    head[a]=hh;
}
void dfs(int u,int f){
    dep[u]=dep[f]+1;
    anc[u][0]=f;
    for(int i=1;i<=17;i++){
        anc[u][i]=anc[anc[u][i-1]][i-1];
        est[u][i]=max(est[u][i-1],est[anc[u][i-1]][i-1]);
        er[u][i]=max(min(est[u][i-1],est[anc[u][i-1]][i-1]),max(er[u][i-1],er[anc[u][i-1]][i-1]));
    }
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=end[i];
        if(v==f) continue;
        est[v][0]=val[i];
        er[v][0]=0;
        dfs(v,u);
    }
}
void getans(int &maxn,int &cmaxn,int u,int v){
    maxn=cmaxn=0;
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    for(int i=0,k=dep[u]-dep[v];k;k>>=1,i++)
        if(k&1){
            u=anc[u][i];
            cmaxn=max(min(maxn,est[u][i]),max(cmaxn,er[u][i]));
            maxn=max(maxn,est[u][i]);
        }
    if(u==v) return;
    for(int i=17;i>=0;i--){
        if(anc[u][i]==anc[v][i]) continue;
        cmaxn=max(min(maxn,est[u][i]),max(cmaxn,er[u][i]));
        maxn=max(maxn,est[u][i]);
        u=anc[u][i];
        cmaxn=max(min(maxn,est[v][i]),max(cmaxn,er[v][i]));
        maxn=max(maxn,est[v][i]);
        v=anc[v][i];
    }
    cmaxn=max(min(maxn,est[u][0]),max(cmaxn,er[u][0]));
    maxn=max(maxn,est[u][0]);
    u=anc[u][0];
    cmaxn=max(min(maxn,est[v][0]),max(cmaxn,er[v][0]));
    maxn=max(maxn,est[v][0]);
    v=anc[v][0];
}
int main(){
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=m;i++) read(e[i].x),read(e[i].y),read(e[i].z);
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int tmp1=getfa(e[i].x),tmp2=getfa(e[i].y);
        if(tmp1==tmp2) continue;
        exi[i]=1;
        adde(e[i].x,e[i].y,e[i].z),adde(e[i].y,e[i].x,e[i].z);
        fa[tmp1]=tmp2;
        ans+=e[i].z;
    }
    dfs(1,1);
    ll delta=1e9+7;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(exi[i]) continue;
        int maxn,cmaxn;
        getans(maxn,cmaxn,e[i].x,e[i].y);
        if(maxn==e[i].z) delta=min(delta,e[i].z-cmaxn);
        else delta=min(delta,e[i].z-maxn);
    }
    cout<<ans+delta<<endl;
    return 0;
}