【BZOJ3930】选数（莫比乌斯反演，杜教筛）

【BZOJ3930】选数（莫比乌斯反演，杜教筛）

题面

给定\(n,K,L,R\)

问从\(L～R\)中选出\(n\)个数，使得他们\(gcd=K\)的方案数

题解

这样想，既然\(gcd=K\)，首先就把区间缩小一下

这样变成了\(gcd=1\)

设\(f(i)\)表示\(gcd\)恰好为\(i\)的方案数

那么，要求的是\(f(1)\)

设\(g(x)=\sum_{d|x}f(d)\)

所以\(g(x)\)表示\(x|gcd\)的方案数

这个不是很好求吗？

所以一波莫比乌斯反演

\[f(1)=\sum_{i=1}\mu(i)g(i)
\]

好的，看看\(g(x)\)怎么直接求

现在可以取的区间范围是\(L～R\)

要让\(gcd\)是\(x\)的倍数

区间的大小算一下，直接快速幂就行了

然后\(80\)分到手啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 10000000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int n,K,L,R;
bool zs[MAX];
int pri[MAX+1],tot,mu[MAX+1];
void pre()
{
	zs[1]=true;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int G(int x,int L,int R)
{
	L=(L-1)/x;R=R/x;
	return fpow(R-L,n);
}
int main()
{
	pre();
	n=read();K=read();L=read();R=read();
	int ans=0;
	for(int i=K;i<=R;i+=K)
		ans+=mu[i/K]*G(i,L,R)%MOD,ans%=MOD;
	printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}

现在的问题是\(L,R\)范围很大

但是我们又要求一个大的\(\mu\)

怎么办嗷。。

非线性时间诶。

杜教筛？？

我们可以搞一下\(\mu\)的前缀和就行了，

这样两个相减就是\(\mu\)

设\(S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\)

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\mu)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})
\]

取\(g(x)=1\)

\[S(n)=1-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})
\]

现在可以算出\(\mu\)啦

再回去看一下上面写的代码

发现可以数论分块

于是再来一次数论分块

这题就没啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 10000000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int n,K,L,R;
bool zs[MAX];
int pri[MAX+1],tot,mu[MAX+1],smu[MAX+1];
map<int,int> M;
void pre()
{
	zs[1]=true;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)smu[i]=smu[i-1]+mu[i];
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int SMu(int x)
{
	if(x<=MAX)return smu[x];
	if(M[x])return M[x];
	int ret=1;
	for(int i=2,j;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		ret-=(j-i+1)*SMu(x/i);
	}
	return M[x]=ret;
}
int main()
{
	pre();
	n=read();K=read();L=read();R=read();
	L=(L-1)/K;R/=K;
	int ans=0;
	for(int i=1,j;i<=R;i=j+1)
	{
		j=R/(R/i);if(i<=L)j=min(j,L/(L/i));
		ans+=(SMu(j)-SMu(i-1))*fpow(R/i-L/i,n)%MOD;
		ans%=MOD;
	}
	printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}