【算法】字典的诞生：有序数组 PK 无序链表

参考资料

《算法（java）》 — — Robert Sedgewick， Kevin Wayne

《数据结构》 — — 严蔚敏

这篇文章主要介绍实现字典的两种方式

有序数组
无序链表

（二叉树的实现方案将在下一篇文章介绍）

【注意】为了让代码尽可能简单，我将字典的Key和Value的值也设置为int类型，而不是对象，所以在下面代码中，处理“操作失败”的情况的时候，是返回 -1 而不是返回 null 。所以代码默认不能选择 -1作为 Key或者Value

(在实际场景中，我们会将int类型的Key替换为实现Compare接口的类的对象，同时将“失败”时的返回值从-1设为null，这时是没有这个问题的)

字典的定义和相关操作

字典又叫查找表（Search Table）, 是由同一类型的数据元素构成的集合，由于集合中的数据元素存在着完全松散的关系，因此查找表是一种非常灵便的数据结构。

对查找表经常进行的操作有：

查询某个特定的数据是否在查找表中
检索某个特定的数据元素的各种属性
在查找表中插入一个数据元素
从查找表中删除某个数据元素

若对查找表只做1,2两种查找的操作，这样的查找表被称为“静态查找表”

若在查找过程中同时还进行了3,4操作，这样的查找表被称为“动态查找表”

有序数组实现字典

有序数组实现字典思路

字典，有最关键的两个类型的值： Key和Value。但是一个数组显然只能存储一个类型的值呀，正因如此：

首先，我们需要预备两个数组; 其次，我们要在每次操作中同步两个数组的状态。

1. 预备两个数组，一个存储Key, 一个存储Value

2. 在每次操作中同步两个数组的状态以有序数组的插入键值对的操作为例（put）

（int类型的数组初始化后，默认值是0）

Key和Value的位置是相同的

双数组实现字典功能的核心在于：每一步操作里，Key和Value在两个数组里的位置是相同的，这意为着你查找出Key的位置时，也一并查找出了Value的位置。例如删除操作时，假设Key和Value的数组分别为a1和a2, 通过对Key的查找得出Key的位置是x, 那么接下来只要对a1[x]和a2[x] 同时进行操作就可以了

字典长度和数组长度

同时要注意一个简单却容易搞混的点：字典长度和数组长度是两个不一样的概念。

数组长度是创建后固定不变的，例如一开始就是N
字典的长度是可变的，开始是0，逐渐递增到N。

以有序数组为例

【注意】这里的“数组长度固定不变”是相对而言的， 下面我会介绍当字典满溢时扩建数组的操作（resize）

选择有序数组的原因

要实现字典，使用有序数组和无序数组当然都可以, 让我们思考下：为什么要选择有序数组呢？

有序数组相对于无序数组的性能优势

在实现上，无序数组和有序数组的性能差异，本质上是顺序查找和二分查找的性能差异。

因为二分查找是基于有序数组的，所以

选择无序数组实现字典，也就意味着选择了顺序查找。
而选择有序数组实现字典，代表着你可以选择二分查找（或插值查找等）， 并享受查找性能上的巨大提升。

关于顺序查找和二分查找的区别可以看下我的上一篇博客

【算法】二分查找/插值查找/斐波那契查找

三个成员变量，一个核心方法

我们使用的有序数组类的代码结构如下图所示：

（二分查找字典）

public class BinarySearchST {

  int [] keys;     // 存储key

  int [] vals;      // 存储value 

  int N = 0;       // 计算字典长度

  public  BinarySearchST (int n) { // 根据输入的数组长度初始化keys和vals

    keys = new int[n];

    vals = new int[n];

  }

 

  public int rank (int key) {  // 查找Key的位置并返回

      // 核心方法

  }

 

  public void put (int key, int val) {

      // 通过一些方式调用rank

  }

 

  public int get (int key) {

      // 通过一些方式调用rank

  }

 

  public int delete (int key) {

      // 通过一些方式调用rank

  }

}

三个成员变量: keys, vals, N

一个核心方法: rank （查找Key的位置），我们下面介绍的大多数方法都要依赖于调用rank去实现。

无序链表实现的字典API

1. rank方法

几乎所有基础的方法，例如get, put, delete都要依赖rank的调用来实现，所以首先让我来介绍下rank的实现

rank方法的代码和普通的二分查找的代码基本相同，但有一点区别。

普通的二分查找

查找成功，返回Key的位置
查找失败（Key不存在），返回 - 1

对应rank方法的实现

查找成功，返回Key的位置
查找失败（Key不存在），返回小于给定Key的元素数量

为什么比起普通的二分查找，rank方法在后一点不是返回 -1 而是返回小于给定Key的元素数量呢？ 因为对于某些调用rank方法，例如put方法来说，在Key不存在的时候也需要提供插入的位置信息，所以当然不能只返回 -1了。

代码如下：

  public int rank (int key) {

    int mid;

    int low= 0,high = N-1;

    while (low<=high) {

      mid = (low + high)/2;

      if(key<keys[mid]) {

        high = mid - 1;

      }

      else if(key>keys[mid]) {

        low = mid + 1;

      }

      else {

        return mid;  // 查找成功，返回Key的位置

      }

    }

    return low;  //  返回小于给定Key的元素数量

  }

关于普通二分查找的代码可以看下我的上一篇文章

【算法】二分查找/插值查找/斐波那契查找

2. put方法

put方法的参数

接收两个参数key和val, 表示要插入的键值对

put方法的实现思路

调用rank方法返回位置下标 i，然后根据给定的key判断key == keys[i]是否成立

如果key等于keys[i]，说明查找成功，那么只要替换vals数组中的vals[i]为新的val就可以了，如图A
如果key不等于keys[i]，那么在字典中插入新的 key-val键值对，具体操作是将数组keys和vals中大于给定key和val的元素全部右移一位，然后使keys[i]=key; vals[i] = val; 如图B

如图所示：

图A

图B

代码如下：

  public void put (int key, int val) {

    int i = rank(key);

    if(i<N&&key == keys[i]) { // 查找到Key, 替换vals[i]为val

      vals[i] = val;

      return ; // 返回

    }

    for (int j=N;j>i;j-- ) { // 未查找到Key

      keys[j] = keys[j-1]; // 将keys数组中小于key的值全部右移一位

      vals[j] = vals[j-1]; // 将vals数组中小于val的值全部右移一位

    }

    keys[i] = key; // 插入给定的key

    vals[i] = val; // 插入给定的val

    N++;

  }

if(i<N&&key == keys[i]) 里的 i<N的作用是什么？

这个问题等价于： 不能直接用key == keys[i]作为判定条件吗。

根据上面rank方法中二分查找的代码可知， low和high交叉的时候，即刚好使low>high的时候，查找结束，所以查找结束时，low和high的关系可能是下面这种情况：

红色部分表示现有字典的长度，图中low刚好 “越界”了，也即使low=N。（这里的N是字典的长度）。

keys[0] ~ keys[N-1]是存储key的元素，而keys[N]则是尚未存储key的元素，所以被默认初始化为0。

在上面的前提下，如果这时key又刚好是0的话， key == keys[i] (i =N)将判定为 true， 这样就会对处在字典之外的vals[N]执行 vals[N] = 0的操作，这显然是不正确的。

所以要添加i<N这个判断条件

for循环里的判断条件

for循环里执行的操作是：将数组keys和vals中大于给定key和val的元素全部右移一位。

但是要注意， 右移一位的顺序是“从右到左”，而不是“从左到右” ，这意味着，我们不能把

    for (int j=N;j>i;j-- ) {

    }

写成：

    for (int j=i + 1;j<=N;j++ ) {

    }

因为这样做会导致key/val右边的元素变得完全一样的错误结果,如图

3. get方法

输入参数为给定的key, 返回值是给定key对应的value值，如果没有查找到key，则返回 -1，提示操作失败。

要注意一点： 当 N = 0即字典为空的时候，显然不需要进行查找了，可以直接返回 -1

代码如下：

  public boolean isEmpty () {

    return N == 0;

  } // 判断字典是否为空（不是数组！）

  public int get (int key) {

    if(isEmpty()) return -1; // 当字典为空时，不需要进行查找，提示操作失败

    int i = rank(key);

    if(i<N&&keys[i] == key) {

      return vals[i]; // 当查找成功时候， 返回和key对应的value值

    }

    return -1; // 没有查找到给定的key，提示操作失败

  }

4. delete方法

delete方法的实现结合了get方法和put方法部分思路

和get方法一样，查找前要通过isEmpty判断字典是否为空，是则无需删除
和put方法类似，删除要将keys/vals中大于key/value的元素全部“左移一位”

代码如下：

  public int delete (int key) {

    if(isEmpty()) return -1; // 字典为空， 无需删除

    int i = rank(key);

    if(i<N&&keys[i] == key) {  // 当给定key存在时候，删除该key-value对

      for(int j=i;j<=N-1;j++) {

        keys[j] = keys[j+1]; // 删除key

        vals[j] = keys[j+1]; // 删除value

      }

      N--; // 字典长度减1

      return key; // 删除成功，返回被删除的key

    }

    return -1;  // 未查找到给定key，删除失败

  }

将keys/vals中大于key/value的元素全部“左移一位”的时候， delete方法和put方法的for循环的遍历方向是相反的。

不是

for (int j=N;j>i;j-- ) { }

而是

  for(int j=i;j<=N-1;j++) { }

不要写错了，不然会造成之前提到的“右边元素变得完全一样”的问题（这一点前面已经提过类似的点，就不赘述了）

5. floor方法

输入key, 返回keys数组中小于等于给定key的最大值。

floor意为“地板”，它指的是在字典中小于或等于给定值的最大值，这听起来可能有点绕，例如对字典1,2,3,4,5。输入key为4，则对应的floor值是4；而输入key为3.5，则对应的floor值为3。

实现的思路

首先要确认的是key是否存在

1. 如果输入的key存在，则返回等于该key的keys元素即可

2. 若输入的key不存在，则返回小于key的最大值: keys[rank(key)-1]

3. 在2中要注意一种特殊情况：输入的key比字典中所有的元素都小，这时显然找不到它的floor值，所以返回 -1, 表示操作失败

(假设rank = rank(key) ,三种情况如下图所示 )

  public int floor (int key) {

    int k  = get(key); // 查找key， 返回其value

    int rank = rank(key); // 返回给定key的位置

    if(k!=-1) return key; // 查找成功，返回值为key

    else if(k==-1&&rank>0) return keys[rank-1]; // 未查找到key,同时给定key并没有排在字典最左端，则返回小于key的前一个值

    else return -1; // 未查找到key，给定Key排在字典最左端，没有floor值

  }

6. ceiling方法

输入key, 返回keys数组中大于等于给定key的最小值。

ceiling方法的实现思路和floor方法类似

实现的思路

首先要确认的是key是否存在

1. 如果输入的key存在，则返回等于该key的keys元素即可, 即keys[rank(key)];

2. 若输入的key不存在，则返回大于key的最大值: keys[rank(key)];

3. 在2中要注意一种特殊情况：输入的key比字典中所有的元素都大，这时显然找不到它的ceiling值，所以返回 -1, 表示操作失败

【注意】1,2中情况虽然不同，返回值却可以用同一个表达式，这和rank函数的编码有关

(假设rank = rank(key) ,三种情况如下图所示 )

代码

  public int ceiling (int key) {

    int k = rank(key);

    if(k==N) return -1;

    return keys[k];

  }

7. size方法

返回字典的大小，即N

代码很简单：

public int size () { return N; }

之所以能直接返回，是因为我们在更改字典的操作时，也相应地维护着N的状态

在声明N的时候初始化了: int N = 0;
put操作完成时执行了N++
delete操作完成时执行了N--;

8. max, min,select方法

  public int max () { return keys[N-1]; } // 返回最大的key

  public int min () { return keys[0]; } // 返回最小的key

  public int select (int k) { // 根据下标返回key

    if(k<0||k>N) return -1;

    return keys[k];

  }

9. resize

在我们的代码里，字典长度是不断增长的，而数组长度是固定的，那么这不由得让我们心生忧虑：

如果数组满了怎么办呢？换句话说，从0增长的字典长度赶上了当前数组的长度。

因为java的数组长度在创建后不可调，所以我们要新建一个更大的数组，将原来的数组元素拷贝到新数组里面去。

因为字典涉及两个数组： keys和vals, 所以这里新建了两个新的临时数组tempKeys和tempVals，转移完成后，使得

    keys = tempKeys;

    vals = tempVals;

就可以了

  private void resize (int max) { // 调整数组大小

    int [] tempKeys = new int[max];

    int [] tempVals = new int[max];

    for(int i=0;i<N;i++) {

      tempKeys[i] = keys[i];

      tempVals[i] = vals[i];

    }

    keys = tempKeys;

    vals = tempVals;

  }

然后在put方法里加上：

// 字典长度赶上了数组长度，将数组长度扩大为原来的2倍

if(N == keys.length) { resize(2*keys.length) }

有序数组实现字典的全部代码如下：

/**

 * @Author: HuWan Peng

 * @Date Created in 11:54 2017/12/10

 */

public class BinarySearchST {

  int [] keys;

  int [] vals;

  int N = 0;

  public  BinarySearchST (int n) {

    keys = new int[n];

    vals = new int[n];

  }

  public int size () { return N; }

  public int max () { return keys[N-1]; } // 返回最大的key

  public int min () { return keys[0]; } // 返回最小的key

  public int select (int k) { // 根据下标返回key

    if(k<0||k>N) return -1;

    return keys[k];

  }

  public int rank (int key) {

    int mid;

    int low= 0,high = N-1;

    while (low<=high) {

      mid = (low + high)/2;

      if(key<keys[mid]) {

        high = mid - 1;

      }

      else if(key>keys[mid]) {

        low = mid + 1;

      }

      else {

        return mid;

      }

    }

    return low;

  }

  public void put (int key, int val) {

    int i = rank(key);

    if(i<N&&key == keys[i]) { // 查找到Key, 替换vals[i]为val

      vals[i] = val;

      return ; // 返回

    }

    for (int j=N;j>i;j-- ) { // 未查找到Key

      keys[j] = keys[j-1]; // 将keys数组中小于key的值全部右移一位

      vals[j] = vals[j-1]; // 将vals数组中小于val的值全部右移一位

    }

    keys[i] = key; // 插入给定的key

    vals[i] = val; // 插入给定的val

    N++;

  }

  public boolean isEmpty () {

    return N == 0;

  } // 判断字典是否为空（不是数组！）

  public int get (int key) {

    if(isEmpty()) return -1; // 当字典为空时，不需要进行查找，提示操作失败

    int i = rank(key);

    if(i<N&&keys[i] == key) {

      return vals[i]; // 当查找成功时候， 返回和key对应的value值

    }

    return -1; // 没有查找到给定的key，提示操作失败

  }

  public int delete (int key) {

    if(isEmpty()) return -1; // 字典为空， 无需删除

    int i = rank(key);

    if(i<N&&keys[i] == key) {  // 当给定key存在时候，删除该key-value对

      for(int j=i;j<=N-1;j++) {

        keys[j] = keys[j+1]; // 删除key

        vals[j] = keys[j+1]; // 删除value

      }

      N--; // 字典长度减1

      return key; // 删除成功，返回被删除的key

    }

    return -1;  // 未查找到给定key，删除失败

  }

  public int ceiling (int key) {

    int k = rank(key);

    if(k==N) return -1;

    return keys[k];

  }

  public int floor (int key) {

    int k  = get(key); // 查找key， 返回其value

    int rank = rank(key); // 返回给定key的位置

    if(k!=-1) return key; // 查找成功，返回值为key

    else if(k==-1&&rank>0) return keys[rank-1]; // 未查找到key,同时给定key并没有排在字典最左端，则返回小于key的前一个值

    else return -1; // 未查找到key，给定Key排在字典最左端，没有floor值

  }

}

无序链表

字典类的结构

public class SequentialSearchST {

  Node first; // 头节点

  int N = 0;  // 链表长度

  private class Node {  // 内部Node类

    int key;

    int value;

    Node next; // 指向下一个节点

    public Node (int key,int value,Node next) {

      this.key = key;

      this.value = value;

      this.next = next;

    }

  }

  public void put (int key, int value) {  }

  public int get (int key) {  }

  public void delete (int key) {  }

}

链表的组成单元是节点，所以在 SequentialSearchST 类里面定义了一个匿名内部Node类, 以便在外部类里能够实例化节点对象。

节点对象有三个实例变量： key，value和next, key和value分别用来存储字典的键和值，而next用于建立节点和节点间的引用联系。

从头节点first开始，依次将本节点的next实例变量指向下一个节点，从而建立一条字典链表。

链表和数组在实现字典的不同点

1. 链表节点本身自带键和值属性，所以用一条链表就能实现字典，而数组要使用两个数组才可以

2. 数组通过增减下标值遍历元素，而链表是依赖前后节点的引用关系进行迭代，从而实现节点的遍历

无序链表实现的字典API

1. put 方法

代码如下：

  public void put (int key, int value) {

    for(Node n=first;n!=null;n=n.next) { // 遍历链表节点

      if(n.key == key) { // 查找到给定的key，则更新相应的value

        n.value = value;

        return;

      }

    }

    // 遍历完所有的节点都没有查找到给定key

    // 1. 创建新节点，并和原first节点建立“next”的联系，从而加入链表

    // 2. 将first变量修改为新加入的节点

    first = new Node(key,value,first);

    N++; // 增加字典（链表）的长度

  }

要理解

first = new Node(key,value,first);

这一句代码，可以把它拆分成两段代码来看：

Node newNode = new Node(key,value,first);  // 1. 创建新节点，并和原first节点建立“next”的联系

first = newNode  // 2. 将first变量修改为新加入的节点

如图所示

2. get方法

  public int get (int key) {

    for(Node n=first;n!=null;n=n.next) {

      if(n.key==key) return n.value;

    }

    return -1;

  }

3. delete方法

  public void delete (int key) {

    for(Node n =first;n!=null;n=n.next) {

      if(n.next.key==key) {

        n.next = n.next.next;

        N--;

        return ;

      }

    }

  }

关键代码

      if(n.next.key==key) {

        n.next = n.next.next;

      }

的逻辑图示如下：

全部代码：

/**

 * @Author: HuWan Peng

 * @Date Created in 17:26 2017/12/10

 */

public class SequentialSearchST {

  Node first; // 头节点

  int N = 0;  // 链表长度

  private class Node {

    int key;

    int value;

    Node next; // 指向下一个节点

    public Node (int key,int value,Node next) {

      this.key = key;

      this.value = value;

      this.next = next;

    }

  }

 

  public int size () {

    return N;

  }

 

  public void put (int key, int value) {

    for(Node n=first;n!=null;n=n.next) { // 遍历链表节点

      if(n.key == key) { // 查找到给定的key，则更新相应的value

        n.value = value;

        return;

      }

    }

    // 遍历完所有的节点都没有查找到给定key

 

    // 1. 创建新节点，并和原first节点建立“next”的联系，从而加入链表

    // 2. 将first变量修改为新加入的节点

    first = new Node(key,value,first);

    N++; // 增加字典（链表）的长度

  }

 

  public int get (int key) {

    for(Node n=first;n!=null;n=n.next) {

      if(n.key==key) return n.value;

    }

    return -1;

  }

 

  public void delete (int key) {

    for(Node n =first;n!=null;n=n.next) {

      if(n.next.key==key) {

        n.next = n.next.next;

        N--;

        return ;

      }

    }

  }

 

}

有序数组和无序链表实现字典的性能差异

有序数组和无序链表的性能差异，本质上还是顺序查找和二分查找的性能差异。正因如此，有序数组的性能表现远好于无序链表

下面展示的是《算法》书中的测试结果，成本模型是对小说文本tale.txt中5737个不同的键执行put操作时，所用的总比较次数。（键是不同的单词，值是每个单词出现的次数）

无序链表实现的成本

有序数组实现的成本

作为测试模型的tale.text的性质如下：

【完】