【技术文档】《算法设计与分析导论》R.C.T.Lee等·第4章 分治策略

分治策略有一种“大事化小，小事化了”的境界，它的思想是将原问题分解成两个子问题，两个子问题的性质和原问题相同，因此这两个子问题可以再用分治策略求解，最终将两个子问题的解合并成原问题的解。有时，我们会有这样的疑惑：分治策略是将原问题分解成子问题，子问题又用分治策略求解，那分治策略到底是什么？这种感觉就像听到有人说“因为我说我没有做错事，所以我没有做错事”一样，让我们不知道他“没有做错事”的真正原因是什么。

对于上面的困惑，我本科的老师告诫过我们：“对于分治策略，当你们想不明白的时候只需记住两点：一是怎样将问题分解成两个子问题，二是要有递归出口。”举个小例子：八个小伙伴为确定谁是领头，决定比武论，两两比较，胜者将进入下一轮再进行两两比较，最终将决出一个领头，如果我们将这个思路倒过来想就是分治策略了，八个人分成两组，此时每组四人，每组决出一个领头，再比较这两个组的领头就能决出最终那个领头，而每组领头的决出又采用将该组分成两组，每组两人，这时直接比较就能决出领头的，无需再分，此处就是递归的出口。说了这么多，总结一下分治策略的步骤：

1. 如果问题规模足够小，那么采取方法解决它；否则，继续将问题划分为两个子问题（小事化了）
2. 对于子问题仍采用分治策略（大事化小）
3. 将子问题的解合并成原问题的解（特别注意）

第一步、第二步是思维的问题，只要我们不陷入思维的漩涡，记住处理递归出口就没有问题，而第三步是细节问题，我们常常忽略，而且不易处理，下面举两个例子来加以说明。

求二维极大点问题。在二维空间中，如果x1>x2且y1>y2，那么称点（x1，y1）支配点（x2，y2）。在一个二维点集中，如果一个点没有被其它点支配，则称这个点是极大点。为了找出这个点集的所有极大点，可以采用分治策略，将点集划分成点数更少的两个点集，递归出口是：当点集只有一个点时，这个点就是这个点集的极大点。对于合并子问题的解的时候就要小心了，并不是简单地取它们的并集，而要考虑这两个点集的极大点之间是否存在支配与被支配的关系，处理的方法很简单：如果左子点集的极大点的y值小于右子点集中的某个极大点，则舍弃左子点集的该极大点。

最近点对问题：一个平面上有n个点，找出距离最近的那对点。采用分治策略，第一二步就不说了。当我们合并这个子点集的最近点对时需要注意：原点集的最近点对的两个端点可能在不同的子点集中，这就需要我们考虑，以分割线附近的点为圆心，以两子点集较小的点对的距离为半径画圆，判断圆内是否存在另个点集中的点，如果存在，最短距离将更改，如果没有，最短距离就是两子点集较小的点对的距离。

在大学老师告诫我们的两点，加上合并注意事项，就构成了采用分治策略应注意的三点：

1. 思考如何将大问题分解成两个小问题
2. 记住递归出口
3. 处理合并解的问题