BZOJ_3270_博物馆_(高斯消元+期望动态规划+矩阵)

描述

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3270

\(n\)个房间,刚开始两个人分别在\(a,b\),每分钟在第\(i\)个房间有\(p[i]\)的概率不动,如果动的话,等概率移动到连接的房间,求他们在每个房间相遇的概率.

分析

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有点像BZOJ_1778_[Usaco2010_Hol]_Dotp_驱逐猪猡_(期望动态规划+高斯消元+矩阵)那道题.

在那道题里,转移的是炸弹,这道题里,转移的是两个人的状态.

我们把一个甲在\(i\),乙在\(j\)的状态看作是状态\((i-1)n+j\),共\(n种状态\),所以就有\(n^2\)种状态转移.

构造一个\(n^2\times{n^2}\)的矩阵\(f\),\(f[i][j]\)表示从\(i\)状态转移到\(j\)状态的概率.(注意f[i][i]不会再转移)

\(f^n[i][j]\)表示的就是走\(n\)次\(i\to{j}\)的概率.

构造一个行向量\(S={(a-1)n+b=1}\).

这样\(S\times{f^i}\)表示的就是走\(i\)次\((a-1)n+b\to{j}\)的概率.

那么答案行向量$$ans=\sum_{i=0}^{\infty}S\times{f^i}$$

根据等比数列求和公式

$$ans(I-f)=S$$

然后高斯消元,在\(ans\)里面找\((i,i)\)的状态即可.

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn=+,maxm=+;
 struct edge{
     int to,next;
     edge(){}
     edge(int to,int next):to(to),next(next){}
 }g[maxm];
 int n,m,a,b,cnt;
 int head[maxn],d[maxn];
 double p[maxn],f[maxm][maxm];
 inline int P(int x,int y){ return (x-)*n+y; }
 void add_edge(int u,int v){
     g[++cnt]=edge(v,head[u]); head[u]=cnt;
     g[++cnt]=edge(u,head[v]); head[v]=cnt;
 }
 void gause(int n){
     for(int i=;i<=n;i++){
         int t=i;
         for(int j=i+;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])>fabs(f[t][i])) t=j;
         if(t!=i)for(int j=i;j<=n+;j++) swap(f[t][j],f[i][j]);
         for(int j=i+;j<=n;j++){
             double x=f[j][i]/f[i][i];
             for(int k=i;k<=n+;k++) f[j][k]-=f[i][k]*x;
         }
     }
     for(int i=n;i;i--){
         for(int j=i+;j<=n;j++) f[i][n+]-=f[i][j]*f[j][n+];
         f[i][n+]/=f[i][i];
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);
     for(int i=;i<=m;i++){
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         d[x]++; d[y]++;
         add_edge(x,y);
     }
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
     for(int x=;x<=n;x++)for(int y=;y<=n;y++){
         if(x!=y){
             f[P(x,y)][P(x,y)]-=p[x]*p[y];
             for(int i=head[x];i;i=g[i].next) f[P(x,y)][P(g[i].to,y)]-=(-p[x])/d[x]*p[y];
             for(int i=head[y];i;i=g[i].next) f[P(x,y)][P(x,g[i].to)]-=(-p[y])/d[y]*p[x];
             for(int i=head[x];i;i=g[i].next)for(int j=head[y];j;j=g[j].next)
                 f[P(x,y)][P(g[i].to,g[j].to)]-=(-p[x])/d[x]*(-p[y])/d[y];
         }
     }
     for(int i=;i<=n*n;i++)for(int j=;j<i;j++) swap(f[i][j],f[j][i]);
     for(int i=;i<=n*n;i++) f[i][i]+=1.0;
     f[P(a,b)][n*n+]=;
     gause(n*n);
     for(int i=;i<=n;i++) printf("%.6lf ",f[P(i,i)][n*n+]);
     return ;
 }

3270: 博物馆

Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 237  Solved: 130
[Submit][Status][Discuss]

Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi
的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi
的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个
不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会
相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

Source

高斯消元