『sumdiv 数学推导 分治』

<更新提示>

<第一次更新>

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<正文>

sumdiv(POJ 1845)

Description

给定两个自然数A和B，S为A^B的所有正整数约数和，编程输出S mod 9901的结果。

Input Format

只有一行，两个用空格隔开的自然数A和B（0<=A,B<= 50000000）。

Output Format

只有一行，即S mod 9901的结果。

Sample Input

2 3

Sample Output

15

解析

这是一道数学推导+分治的简单运用，大体思路如下。

由算数基本定理可得：

\[A=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}
\]

那么

\[A=p_1^{a_1B}*p_2^{a_2B}*...*p_k^{a_kB}=\prod_{i=1}^kp_i^{a_iB}
\]

易知\(A^B\)的约数之和就是：

\[ans=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1B})*...*(1+p_k+p_k^2+...+p_k^{a_kB})\\=\prod_{i=1}^{k}(1+p_i+p_i^2+...+p_i^{a_iB})\\=\prod_{i=1}^{k}\sum_{j=0}^{a_iB}p_i^j
\]

分解质因数我们是可以简单做到的，由于涉及到取模，在不用逆元的情况下，我们不能直接用等比数列求和公式。

所以我们的问题就转化成了等比数列求和，这是可以利用分治在\(log\)时间内实现的(不涉及除法)。

对于求解\(sum(p,c)=1+p+...+p^c\)，可以分解一下：

• 对于c为奇数

\[sum(p,c)=1+p+...+p^c
\\=(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})+p^{\frac{c+1}{2}}*(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})
\\=(1+p^{\frac{c+1}{2}})*sum(p,\frac{c-1}{2})
\]

• 对于c为偶数

\[sum(p,c)=1+p+...+p^c
\\=(1+p+...+p^{\frac{c}{2}-1})+p^{\frac{c}{2}}*(1+p+...+p^{\frac{c}{2}-1})+p^c
\\=(1+p^{\frac{c}{2}})*sum(p,\frac{c}{2}-1)+p^c
\]

再代回约数和公式，直接利用递归来做分治即可。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=9901;
long long A,B,p[50],k[50],n,ans=1;
inline void input(void)
{
	scanf("%lld%lld",&A,&B);
}
inline void decompose(void)
{
	long long temp=A;
	for(int i=2;i<=temp;i++)
	{
		if((temp%i)==0)
		{
			n++;
			p[n]=i;k[n]++;
			temp/=i;
			while((temp%i)==0)
			{
				k[n]++;
				temp/=i;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		k[i]*=B;
}
inline long long power(long long a,long long b)
{
	long long res=1;
	for(;b;b>>=1)
	{
		if(1&b)res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
	}
	return res;
}
inline long long sum(long long x,long long y)
{
	if(y==1)return x+1;
	if(y==0)return 1;
	if(y%2==1)
		return ((1+power(x,(y+1)/2))%Mod*sum(x,(y-1)/2)%Mod)%Mod;
	else return ((1+power(x,y/2))%Mod*sum(x,y/2-1)%Mod+power(x,y)%Mod)%Mod;
}
inline void solve(void)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ans*=sum(p[i],k[i])%Mod;
		ans%=Mod;
	}
}
int main(void)
{
	input();
	decompose();
	solve();
	printf("%lld\n",ans%Mod);
}

---

<后记>