【bzoj 2159】Crash 的文明世界

Description

Crash小朋友最近迷上了一款游戏——文明5(Civilization V)。在这个游戏中，玩家可以建立和发展自己的国家，通过外交和别的国家交流，或是通过战争征服别的国家。现在Crash已经拥有了一个N个城市的国家，这些城市之间通过道路相连。由于建设道路是有花费的，因此Crash只修建了N-1条道路连接这些城市，不过可以保证任意两个城市都有路径相通。在游戏中，Crash需要选择一个城市作为他的国家的首都，选择首都需要考虑很多指标，有一个指标是这样的：$S(i)=\sum _{j=1}^Ndist(i,j)^k$。其中S(i)表示第i 个城市的指标值，dist(i, j)表示第i个城市到第j个城市需要经过的道路条数的最小值，k为一个常数且为正整数。因此Crash交给你一个简单的任务：给出城市之间的道路，对于每个城市，输出这个城市的指标值，由于指标值可能会很大，所以你只需要输出这个数 mod 10007 的值。

Input

输入的第一行包括两个正整数N和k。下面有N-1行，每行两个正整数u、v (1 ≤ u, v ≤ N)，表示第u个城市和第v个城市之间有道路相连。这些道路保证能符合题目的要求。

Output

输出共N行，每行一个正整数，第i行的正整数表示第i个城市的指标值 mod 10007 的值。

用结论来化简式子：$x^n=\sum _{i=1}^n S(n,i)\cdot F(x,i)$

$S(n,i)$为第二类斯特林数，$F(x,i)=\frac{x!}{(x-i)!}$

可得：$$\begin{align*} ans(i)&=\sum _{j=1}^ndist(i,j)^m\\ &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\cdot F(dist(i,j),k)\\ &=\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\sum_{j=1}^{n} F(dist(i,j),k)\\ &=\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\cdot k!\cdot \sum_{j=1}^{n} C(dist(i,j),k) \end{align*}$$

根据组合数递推公式：$C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)$ 就可以很方便的对后面的部分进行树形dp了。

具体地，令 $up(x,i)$ 为不在 $x$ 的子树中的部分的贡献，令 $dn(x,i)$ 为 $x$ 的子树的贡献。特别的，$dn(x,0)=1$。

详见代码。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int N=5e4+;
 const int M=;
 const int mod=1e4+;
 int n,m,u,v,cnt,ans,tmp;
 int first[N],fac[M],s[M][M];
 int up[N][M],dn[N][M];
 struct edge{int to,next;}e[N*];
 int read()
 {
     int x=,f=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
     return x*f;
 }
 void ins(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
 void Mod(int& a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
 void dfs1(int x,int fa)
 {
     dn[x][]=;
     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
     {
         int to=e[i].to;
         if(to==fa)continue;
         dfs1(to,x);
         Mod(dn[x][],dn[to][]);
         for(int j=;j<=m;j++)
             Mod(dn[x][j],(dn[to][j]+dn[to][j-])%mod);
     }
 }
 void dfs2(int x,int fa)
 {
     if(fa!=-)
     {
         up[x][]=n-dn[x][];
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             Mod(up[x][i],(up[fa][i]+up[fa][i-])%mod);
             Mod(up[x][i],(dn[fa][i]+dn[fa][i-])%mod);
             Mod(up[x][i],(*mod-dn[x][i]-dn[x][i-])%mod);
             Mod(up[x][i],(mod-dn[x][i-])%mod);
             if(i!=)Mod(up[x][i],(mod-dn[x][i-])%mod);
         }
     }
     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
         if(e[i].to!=fa)dfs2(e[i].to,x);
 }
 int main()
 {
     int L,now,A,B,Q;
     n=read();m=read();L=read();
     now=read();A=read();B=read();Q=read();
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         now=(now*A+B)%Q;
         tmp=i<L?i:L;
         u=i-now%tmp;v=i+;
         ins(u,v);ins(v,u);
     }
 //    n=read();m=read();
 //    for(int i=1;i<n;i++)
 //    {
 //        u=read();v=read();
 //        ins(u,v);ins(v,u);
 //    }
     fac[]=s[][]=;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         fac[i]=fac[i-]*i%mod;
         for(int j=;j<=i;j++)
             s[i][j]=(s[i-][j]*j+s[i-][j-])%mod;
     }
     dfs1(,-);dfs2(,-);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         ans=;
         for(int j=;j<=m;j++)
             Mod(ans,s[m][j]*fac[j]%mod*(up[i][j]+dn[i][j])%mod);
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }