【CF932G】Palindrome Partition 回文自动机

【CF932G】Palindrome Partition

题意：给你一个字符串s，问你有多少种方式，可以将s分割成k个子串，设k个子串是$x_1x_2...x_k$，满足$x_1=x_k,x_2=x_{k-1}...x_i=x{k-i+1}$。

$|s|\le 10^6$

题解：设字符串的长度为n，考虑字符串$T=s_1s_ns_2s_{n-1}...$。问题就转化成了：求将原串划分成若干个长度为偶数的回文子串的方案数。

首先我们有一种暴力的想法，设f[i]表示将前i个字符分成若干个回文子串的方案数，先跑回文自动机或Manacher得到所有$O(n^2)$个回文串。然后有转移方程$f[i]=\sum f[j] [s(i,j)是回文串]$，特别地，对于奇数的i，f[i]=0。

但是观察发现，如果$s(1,i)=A+DD..DT$，其中$T,DT,DDT...$都是回文串，那么显然有转移$f[i]=f[i-|T|]+f[i-|DT|]+...$，而注意到对于$i-|T|$这个位置，也存在转移$f[i-|T|]=f[i-|DT|]+f[i-|DDT|]+...$。也就是说，f[i]和f[i-|T|]有相当多的转移是相同的！我们能不能利用这个性质来优化我们的算法呢？

接着，对于回文自动机上的每个节点，我们定义$diff[i]=len[i]-len[fail[i]]$，$sf[i]$表示i沿着fail指针往上走，走到的第一个$diff$与i不同的祖先。我们是不是可以把fail链上连续的diff相同的点放在一起呢？当然是可以的，有如下结论：

引理1：从一个点沿着sf指针向上走，最多走log步就能到达根节点。

证明很复杂，不过有一种比较容易的感性理解方法：就是当diff<len/2的时候，diff一定不变；diff>len/2的时候，diff又一定改变（画画图能看出来）。所以每次len缩小一半，长度就是log的了。

为了保证正确性，我们还需要证明一个东西：

引理2：设j是i对应的节点在fail树上的一个祖先，且diff[j]!=diff[fail[j]]，则在所有以i-diff[j]结尾的回文串中，长度最长的为len[j]-diff[j]。

这个也不太会证，画画图吧~

不过引理2保证了我们直接调用f[i-diff[j]]时不会统计到无关的信息。现在我们可以将diff相同的部分放到一起处理了，只需要维护一个类似于前缀和的东西，到时候暴力沿着sf向上走统计答案即可。具体可见代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int P=1000000007;
const int maxn=1000010;
inline void upd(int &x,const int &y) {x+=y;	if(x>=P)	x-=P;}
int f[maxn],g[maxn];
int n,last,tot;
int ch[maxn][26],fa[maxn],len[maxn],diff[maxn],sf[maxn];
char ss[maxn],str[maxn];
inline void extend(int x)
{
	int p=last,c=str[x]-'a';
	for(;str[x-len[p]-1]!=str[x];p=fa[p]);
	if(!ch[p][c])
	{
		int np=++tot,q=fa[p];	len[np]=len[p]+2;
		for(;str[x-len[q]-1]!=str[x];q=fa[q]);
		fa[np]=ch[q][c];
		ch[p][c]=np;
		diff[np]=len[np]-len[fa[np]];
		if(diff[np]==diff[fa[np]])	sf[np]=sf[fa[np]];
		else	sf[np]=fa[np];
	}
	last=ch[p][c];
}
int main()
{
	scanf("%s",ss+1),n=strlen(ss+1);
	int i,p;
	for(i=1;i+i<=n;i++)	str[i*2-1]=ss[i],str[i*2]=ss[n+1-i];
	tot=fa[0]=1,len[1]=-1;
	f[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		extend(i);
		p=last;
		for(p=last;p>1;p=sf[p])
		{
			g[p]=f[i-len[sf[p]]-diff[p]];
			if(diff[p]==diff[fa[p]])	upd(g[p],g[fa[p]]);
			upd(f[i],g[p]);
		}
		if(i&1)	f[i]=0;
	}
	printf("%d",f[n]);
	return 0;
}