hdu 3045 Picnic Cows(斜率优化DP)

题目链接：hdu 3045 Picnic Cows

题意：

1. 有n个奶牛分别有对应的兴趣值，现在对奶牛分组，每组成员不少于t，
2. 在每组中所有的成员兴趣值要减少到一致，问总共最少需要减少的兴趣值是多少。

题解：

1. 分析：
   先对n个数进行排序，则可以分析出分组成员一定是连续的
   dp[i]表示前i个数得到的最少值
   则:从j~i作为一组
   dp[i]=dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]-(i-j+1)*s[j];//sum[i]表示前i个数的和
   =>dp[i]=dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j];
   由于有i*s[j]这一项,所以无法直接在扫描数组的过程中用单调队列维护：
   dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j]的最小值。
   考虑用斜率dp!
   假定k<j<=i-t以j~i作为一组比以k~i作为一组更优
   则：
   dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]-(i-j+1)*s[j] <= dp[k-1]+sum[i]-sum[k-1]-(i-k+1)*s[k]
   =>dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j] <= dp[k-1]+sum[i]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]-i*s[k]
   =>(dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j] - (dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]))/(s[j]-s[k])<=i;//保证s[j]>=s[k]
   令:
   y1 = dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]
   y2 = dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]
   x1 = s[j]
   x2 = s[k]
   所以变成了：
   (y1 - y2)/(x1 - x2) <= i;
   斜率!
   只需要维护这个斜率即可

以上转自stephen博客

 #include<bits/stdc++.h>
 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const int N=5e5+;
 int n,t,Q[N];
 ll sum[N],s[N],dp[N];

 ll get_y(int j,int k)
 {
     return dp[j-]-sum[j-]+(j-)*s[j]-(dp[k-]-sum[k-]+(k-)*s[k]);
 }

 ll get_x(int j,int k){return s[j]-s[k];}

 int check(int i,int j,int k)//获取更优的点
 {
     return get_y(i,j)*get_x(j,k)<=get_y(j,k)*get_x(i,j);
 }

 int main()
 {
     while(~scanf("%d%d",&n,&t))
     {
         F(i,,n)scanf("%lld",s+i);
         sort(s+,s++n);
         F(i,,n)sum[i]=sum[i-]+s[i];
         int en=*t-;
         F(i,t,en)dp[i]=sum[i]-i*s[];//从t到2*t-1都只能分到一组里
         int head=,tail=,st=*t;
         F(i,st,n)
         {
             while(head<tail&&check(i-t+,Q[tail],Q[tail-]))tail--;
             Q[++tail]=i-t+;
             while(head<tail&&get_y(Q[head+],Q[head])<=get_x(Q[head+],Q[head])*i)head++;
             dp[i]=dp[Q[head]-]+sum[i]-sum[Q[head]-]-(i-Q[head]+)*s[Q[head]];
         }
         printf("%lld\n",dp[n]);
     }
     return ;
 }